Номер 496, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 496, страница 146.

Условие.

496. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y + xy = 5 \\ xy + x - y = 13 \end{cases} $$ Для удобства перепишем второе уравнение, поменяв местами слагаемые: $$ \begin{cases} x + y + xy = 5 \\ x - y + xy = 13 \end{cases} $$ Это симметрическая система. Вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам избавиться от переменных $x$ и $xy$: $$ (x - y + xy) - (x + y + xy) = 13 - 5 $$ Раскроем скобки: $$ x - y + xy - x - y - xy = 8 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -2y = 8 $$ Отсюда находим $y$: $$ y = \frac{8}{-2} = -4 $$ Теперь подставим найденное значение $y = -4$ в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти $x$: $$ x + (-4) + x(-4) = 5 $$ $$ x - 4 - 4x = 5 $$ $$ -3x = 5 + 4 $$ $$ -3x = 9 $$ $$ x = \frac{9}{-3} = -3 $$ Таким образом, мы получили решение $(x, y) = (-3, -4)$. Для уверенности выполним проверку, подставив эти значения во второе уравнение исходной системы: $$ xy + x - y = (-3)(-4) + (-3) - (-4) = 12 - 3 + 4 = 9 + 4 = 13 $$ $$ 13 = 13 $$ Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(-3; -4)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + xy + y = 10 \\ xy - 2x - 2y = 2 \end{cases} $$ Эта система удобна для решения методом введения новых переменных. В обоих уравнениях можно выделить выражения $x+y$ и $xy$. Перепишем систему в виде: $$ \begin{cases} (x + y) + xy = 10 \\ xy - 2(x + y) = 2 \end{cases} $$ Сделаем замену: пусть $S = x + y$ и $P = xy$. Тогда система примет вид: $$ \begin{cases} S + P = 10 \\ P - 2S = 2 \end{cases} $$ Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными $S$ и $P$. Решим ее. Из первого уравнения выразим $P$: $P = 10 - S$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$ (10 - S) - 2S = 2 $$ $$ 10 - 3S = 2 $$ $$ -3S = 2 - 10 $$ $$ -3S = -8 $$ $$ S = \frac{8}{3} $$ Теперь найдем значение $P$: $$ P = 10 - S = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30}{3} - \frac{8}{3} = \frac{22}{3} $$ Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы имеем: $$ x + y = S = \frac{8}{3} $$ $$ xy = P = \frac{22}{3} $$ Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения вида $t^2 - St + P = 0$: $$ t^2 - \frac{8}{3}t + \frac{22}{3} = 0 $$ Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 3: $$ 3t^2 - 8t + 22 = 0 $$ Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 22 = 64 - 264 = -200 $$ Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы условиям $x+y = 8/3$ и $xy = 22/3$. Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет действительных решений.