Номер 500, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 500, страница 146.

Условие.

500. Имеют ли общую точку графики уравнений

x + y = 7, 2x – y = 2, x² + xy – y² – y = 1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, имеют ли графики данных уравнений общую точку, необходимо найти координаты $(x, y)$, которые удовлетворяют всем трем уравнениям одновременно. Для этого нужно решить систему из трех уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 7 & (1) \\ 2x - y = 2 & (2) \\ x^2 + xy - y^2 - y = 1 & (3) \end{cases} $

Сначала найдем точку пересечения графиков первых двух уравнений, которые являются прямыми. Решим систему из уравнений (1) и (2):

$ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений, чтобы исключить переменную $y$:

$(x + y) + (2x - y) = 7 + 2$

$3x = 9$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$3 + y = 7$

$y = 7 - 3$

$y = 4$

Таким образом, единственная возможная общая точка для всех трех графиков — это точка пересечения первых двух, то есть точка с координатами $(3, 4)$.

Далее проверим, удовлетворяет ли эта точка третьему уравнению. Подставим $x = 3$ и $y = 4$ в уравнение $x^2 + xy - y^2 - y = 1$:

$(3)^2 + (3)(4) - (4)^2 - 4 = 1$

$9 + 12 - 16 - 4 = 1$

$21 - 20 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное. Это означает, что точка $(3, 4)$ принадлежит и графику третьего уравнения.

Поскольку точка $(3, 4)$ удовлетворяет всем трем уравнениям, графики этих уравнений имеют общую точку.

Ответ: да, графики уравнений имеют общую точку $(3, 4)$.