Номер 507, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

507. Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{4}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь равна $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений.

Первое условие: «Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2». Это условие можно записать в виде следующего уравнения: $$ \frac{x^2}{y-1} = 2 $$

Второе условие: «Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{4}$». Это условие даёт нам второе уравнение: $$ \frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{4} $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} \frac{x^2}{y-1} = 2 \\ \frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{4} \end{cases} $$ Необходимо также учесть, что знаменатели не могут быть равны нулю, то есть $y-1 \neq 0$ (т.е. $y \neq 1$) и $y+1 \neq 0$ (т.е. $y \neq -1$).

Теперь решим эту систему. Упростим оба уравнения. Из первого уравнения выразим $x^2$: $x^2 = 2(y-1)$ $x^2 = 2y - 2$ (1)

Из второго уравнения, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $4(x-1) = 1(y+1)$ $4x - 4 = y + 1$

Выразим переменную $y$ из второго преобразованного уравнения: $y = 4x - 4 - 1$ $y = 4x - 5$ (2)

Подставим полученное выражение для $y$ из уравнения (2) в уравнение (1): $x^2 = 2(4x - 5) - 2$ $x^2 = 8x - 10 - 2$ $x^2 = 8x - 12$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Перенесём все его члены в левую часть: $x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-(-8) = 8$, а их произведение равно $12$. Корнями являются числа 2 и 6. $x_1 = 2$
$x_2 = 6$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдём соответствующее значение $y$, подставив $x$ в уравнение (2).

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$. Первая возможная дробь — $\frac{2}{3}$.

Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 4(6) - 5 = 24 - 5 = 19$. Вторая возможная дробь — $\frac{6}{19}$.

Осталось выполнить проверку, чтобы убедиться, что обе дроби удовлетворяют условиям задачи.

Проверка для дроби $\frac{2}{3}$:
1) $\frac{2^2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$. (Верно)
2) $\frac{2-1}{3+1} = \frac{1}{4}$. (Верно)

Проверка для дроби $\frac{6}{19}$:
1) $\frac{6^2}{19-1} = \frac{36}{18} = 2$. (Верно)
2) $\frac{6-1}{19+1} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. (Верно)

Оба найденных решения верны, хотя в вопросе и употреблено единственное число "дробь".

Ответ: $\frac{2}{3}$ или $\frac{6}{19}$.