Номер 512, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

512. Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поездов соответственно, измеряемые в км/ч.Общее расстояние $S = 270$ км.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.Они встречаются через 3 часа, значит, за это время они вместе преодолевают все расстояние:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 270$

Отсюда находим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{270}{3}$

$v_1 + v_2 = 90$

Это наше первое уравнение.Теперь составим второе уравнение. Время, которое тратит на весь путь первый поезд, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{270}{v_1}$.Время, которое тратит на весь путь второй поезд, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{270}{v_2}$.

По условию, один из поездов тратит на путь на 1 час 21 минуту больше, чем другой. Переведем эту разницу во времени в часы:

$1$ ч $21$ мин $= 1 + \frac{21}{60}$ ч $= 1 + \frac{7}{20}$ ч $= \frac{20}{20} + \frac{7}{20} = \frac{27}{20}$ ч.

Пусть первый поезд медленнее, тогда $t_1 > t_2$. Разница во времени составляет:

$t_1 - t_2 = \frac{270}{v_1} - \frac{270}{v_2} = \frac{27}{20}$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ \frac{270}{v_1} - \frac{270}{v_2} = \frac{27}{20} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 90 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение. Для удобства можно сначала разделить второе уравнение на 27:

$\frac{10}{v_1} - \frac{10}{v_2} = \frac{1}{20}$

Теперь подставляем $v_2 = 90 - v_1$:

$\frac{10}{v_1} - \frac{10}{90 - v_1} = \frac{1}{20}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{10(90 - v_1) - 10v_1}{v_1(90 - v_1)} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 10v_1 - 10v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 20v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{20}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$20 \cdot (900 - 20v_1) = 1 \cdot (90v_1 - v_1^2)$

$18000 - 400v_1 = 90v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_1^2 - 90v_1 - 400v_1 + 18000 = 0$

$v_1^2 - 490v_1 + 18000 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100$

$\sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,1} = \frac{-(-490) + 410}{2 \cdot 1} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450$

$v_{1,2} = \frac{-(-490) - 410}{2 \cdot 1} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Рассмотрим оба варианта:

1. Если $v_1 = 450$ км/ч, то $v_2 = 90 - v_1 = 90 - 450 = -360$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

2. Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 90 - v_1 = 90 - 40 = 50$ км/ч. Этот вариант является решением.

Проверим найденные скорости. Скорости поездов 40 км/ч и 50 км/ч.

Время в пути для первого поезда: $t_1 = \frac{270}{40} = 6,75$ ч.

Время в пути для второго поезда: $t_2 = \frac{270}{50} = 5,4$ ч.

Разница во времени: $t_1 - t_2 = 6,75 - 5,4 = 1,35$ ч.

Переведем 1,35 часа в часы и минуты: $1,35$ ч $= 1$ ч $+ 0,35$ ч $= 1$ ч $+ 0,35 \cdot 60$ мин $= 1$ ч $21$ мин.Это соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного поезда 40 км/ч, а другого — 50 км/ч.