Номер 516, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 516, страница 148.

Условие.

516. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Неравенство $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 \le 4$ задает на координатной плоскости круг. Чтобы это показать, рассмотрим сначала уравнение, соответствующее границе этой области: $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 4$.
Это каноническое уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра, а $R$ — это радиус.
В нашем случае, центр окружности находится в точке с координатами $(3, -3)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$.
Неравенство является нестрогим ($\le$), это означает, что точки, лежащие на самой окружности, также являются частью решения. Поэтому граница изображается сплошной линией.
Знак "меньше или равно" указывает на то, что решением являются все точки внутри окружности, а также на её границе. Таким образом, искомое множество — это круг.
Графически это круг с центром в точке $(3, -3)$ и радиусом $2$, включая его границу.

Ответ: Круг с центром в точке $(3; -3)$ и радиусом $2$.

б) Неравенство $y \le x^2 - 5x + 6$ задает область на координатной плоскости, границей которой является парабола, заданная уравнением $y = x^2 - 5x + 6$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$.
$y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
Вершина параболы находится в точке $(2.5; -0.25)$.
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), решив уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения с Ox: $(2; 0)$ и $(3; 0)$.
Неравенство $y \le x^2 - 5x + 6$ нестрогое, поэтому сама парабола включается в множество решений и изображается сплошной линией.
Знак $\le$ означает, что искомое множество точек включает все точки, ординаты ($y$) которых меньше или равны соответствующим значениям на параболе. Это область, расположенная под параболой.
Таким образом, решение — это все точки на параболе $y = x^2 - 5x + 6$ и все точки плоскости, расположенные ниже неё.

Ответ: Множество точек, расположенных на параболе $y = x^2 - 5x + 6$ и ниже неё.