Номер 523, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 523, страница 148.

Условие.

523. Укажите какие-нибудь значения k и b, при которых система неравенств задаёт на координатной плоскости:

а) полосу;

б) угол.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости полосу, граничные прямые $y = 2x + 3$ и $y = kx + b$ должны быть параллельны. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой равен 2, значит, и угловой коэффициент второй прямой должен быть равен 2. Таким образом, $k = 2$.
Система примет вид:
$y \le 2x + 3$
$y \ge 2x + b$
Это можно записать в виде двойного неравенства: $2x + b \le y \le 2x + 3$. Чтобы эта область была непустой полосой, прямая $y = 2x + b$ должна располагаться ниже прямой $y = 2x + 3$. Так как прямые параллельны, это условие выполняется, если свободный член $b$ меньше свободного члена 3, то есть $b < 3$. Если $b = 3$, то решением будет одна прямая (вырожденная полоса), а при $b > 3$ система решений иметь не будет.
Можно выбрать любые значения, удовлетворяющие этим условиям. Например, возьмем $k=2$ и $b=0$.
Ответ: $k=2, b=0$.

б) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости угол, граничные прямые $y = 2x + 3$ и $y = kx + b$ должны пересекаться. Две прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны. Угловой коэффициент первой прямой равен 2, следовательно, угловой коэффициент второй прямой не должен быть равен 2, то есть $k \neq 2$.
При этом условии прямые будут пересекаться при любом значении параметра $b$, так как он отвечает лишь за сдвиг прямой вдоль оси ординат и не влияет на угол наклона.
Можно выбрать любые значения, удовлетворяющие этим условиям. Например, возьмем $k=1$ и $b=1$.
Ответ: $k=1, b=1$.