Номер 524, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 524, страница 148.

Условие.

524. Каким множеством точек изображается множество решений неравенства:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Рассматриваем неравенство $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$.

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Произведение неотрицательно, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны), либо один из них равен нулю. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

1) $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$

2) $y \le 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \le 0$

Рассмотрим первую систему. Неравенство $y \ge 0$ задает верхнюю полуплоскость, включая горизонтальную ось Ox. Второе неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, задает множество точек, лежащих на и вне окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r=1$. Решением этой системы является пересечение указанных множеств, то есть все точки верхней полуплоскости, которые лежат на или вне единичной окружности.

Рассмотрим вторую систему. Неравенство $y \le 0$ задает нижнюю полуплоскость, включая ось Ox. Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 1$, задает замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом $r=1$. Решением этой системы является пересечение указанных множеств, то есть все точки этого круга, которые лежат в нижней полуплоскости.

Искомое множество точек является объединением решений обеих систем, включая границы, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух областей: 1) множества точек, для которых $y \ge 0$ и $x^2+y^2 \ge 1$ (часть плоскости в верхней полуплоскости, включая ось Ox, лежащая на или вне единичной окружности); 2) множества точек, для которых $y \le 0$ и $x^2+y^2 \le 1$ (часть замкнутого единичного круга, лежащая в нижней полуплоскости, включая ось Ox). Границы областей (ось Ox и окружность $x^2 + y^2 = 1$) включены в решение.

б) Рассматриваем неравенство $x(x^2 - y) \le 0$.

Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки, либо один из них равен нулю. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

1) $x \ge 0$ и $x^2 - y \le 0$

2) $x \le 0$ и $x^2 - y \ge 0$

Рассмотрим первую систему. Неравенство $x \ge 0$ задает правую полуплоскость, включая вертикальную ось Oy. Второе неравенство можно переписать в виде $y \ge x^2$. Оно задает множество точек, лежащих на и выше параболы $y = x^2$. Решением этой системы является пересечение указанных множеств: все точки, лежащие в правой полуплоскости на или выше параболы $y = x^2$.

Рассмотрим вторую систему. Неравенство $x \le 0$ задает левую полуплоскость, включая ось Oy. Второе неравенство можно переписать в виде $y \le x^2$. Оно задает множество точек, лежащих на и ниже параболы $y = x^2$. Решением этой системы является пересечение указанных множеств: все точки, лежащие в левой полуплоскости на или ниже параболы $y = x^2$.

Искомое множество точек является объединением решений обеих систем, включая границы, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух областей: 1) множества точек, для которых $x \ge 0$ и $y \ge x^2$ (область, ограниченная снизу ветвью параболы $y=x^2$ и слева осью Oy); 2) множества точек, для которых $x \le 0$ и $y \le x^2$ (область, ограниченная сверху ветвью параболы $y=x^2$ и справа осью Oy). Границы областей (ось Oy и парабола $y = x^2$) включены в решение.