Номер 519, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 519, страница 148.

Условие.

519. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) y ≥ |x|;

б) y ≤ |x – 2|.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y \ge |x|$

Чтобы изобразить множество решений данного неравенства, сначала построим график граничной функции $y = |x|$.

По определению модуля, функция $y = |x|$ может быть записана как система: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Графиком этой функции являются два луча, выходящие из начала координат (точки $(0,0)$):
1. Луч $y = x$ в первой координатной четверти.
2. Луч $y = -x$ во второй координатной четверти.
Вместе они образуют "галочку" (или "угол"), вершина которой находится в точке $(0,0)$.

Теперь вернемся к неравенству $y \ge |x|$. Знак "$\ge$" означает, что точки на самой линии $y = |x|$ являются частью решения, поэтому линия графика будет сплошной.

Чтобы определить, какую область закрашивать (выше или ниже графика), выберем контрольную точку, не лежащую на линии $y = |x|$. Например, возьмем точку $(0, 1)$.

Подставим ее координаты в неравенство:
$1 \ge |0|$
$1 \ge 0$
Это верное неравенство. Следовательно, все точки в полуплоскости, содержащей точку $(0, 1)$, являются решениями. Эта область находится выше графика $y = |x|$.

Ответ: Множеством решений неравенства $y \ge |x|$ является область, расположенная выше графика функции $y = |x|$ (внутри "угла"), включая сам график (лучи $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$).

---

б) $y \le |x - 2|$

Аналогично предыдущему пункту, сначала построим график граничной функции $y = |x - 2|$.

Этот график можно получить из графика функции $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси $Ox$). Вершина "угла" сместится из точки $(0,0)$ в точку $(2,0)$.

Функция $y = |x - 2|$ может быть записана как система:
$y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0 \implies x < 2 \end{cases}$
то есть $y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x \ge 2 \\ -x + 2, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Графиком являются два луча, выходящие из точки $(2,0)$.

В неравенстве $y \le |x - 2|$ используется знак "$\le$", значит, точки на самой линии $y = |x - 2|$ входят в множество решений, и линия графика должна быть сплошной.

Для определения закрашиваемой области выберем контрольную точку, не лежащую на графике. Удобно взять начало координат, точку $(0, 0)$.

Подставим ее координаты в неравенство:
$0 \le |0 - 2|$
$0 \le |-2|$
$0 \le 2$
Это верное неравенство. Значит, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением. Эта область находится ниже графика $y = |x - 2|$.

Ответ: Множеством решений неравенства $y \le |x-2|$ является область, расположенная ниже графика функции $y = |x-2|$ (снаружи "угла"), включая сам график (лучи, выходящие из точки $(2,0)$).