Номер 514, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 514, страница 147.

Условие.

514. Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов A и B. Первый вышел из пункта A на 6 ч позже, чем второй из пункта B, и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в пункт B через 8 ч, а второй — в пункт A через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ — скорость первого туриста (км/ч).
• $v_2$ — скорость второго туриста (км/ч).
• $t_1$ — время, которое первый турист был в пути до встречи (ч).
• $t_2$ — время, которое второй турист был в пути до встречи (ч).

Пусть встреча туристов произошла в точке $C$. Тогда расстояние, которое прошел первый турист от пункта $A$ до точки $C$, равно $S_1 = v_1 t_1$. Расстояние, которое прошел второй турист от пункта $B$ до точки $C$, равно $S_2 = v_2 t_2$.

Из условий задачи составим систему уравнений.

1. Первый турист вышел на 6 часов позже второго:

$t_2 = t_1 + 6$

2. При встрече первый турист прошел на 12 км меньше второго:

$S_1 = S_2 - 12$, или $v_1 t_1 = v_2 t_2 - 12$

3. После встречи первый турист прошел оставшееся расстояние (от $C$ до $B$, равное $S_2$) за 8 часов, а второй — оставшееся расстояние (от $C$ до $A$, равное $S_1$) за 9 часов. Это дает нам два важных соотношения:

$S_2 = v_1 \cdot 8$

$S_1 = v_2 \cdot 9$

Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить. Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в другие уравнения.

Из $S_1 = v_1 t_1$ и $S_1 = 9v_2$ следует, что $v_1 t_1 = 9v_2$. Отсюда можно выразить время $t_1$:

$t_1 = \frac{9v_2}{v_1}$

Из $S_2 = v_2 t_2$ и $S_2 = 8v_1$ следует, что $v_2 t_2 = 8v_1$. Отсюда можно выразить время $t_2$:

$t_2 = \frac{8v_1}{v_2}$

Теперь подставим эти выражения для $t_1$ и $t_2$ в самое первое уравнение $t_2 = t_1 + 6$:

$\frac{8v_1}{v_2} = \frac{9v_2}{v_1} + 6$

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными $v_1$ и $v_2$. Чтобы найти второе уравнение, воспользуемся соотношением расстояний $S_1 = S_2 - 12$. Подставим в него $S_1 = 9v_2$ и $S_2 = 8v_1$:

$9v_2 = 8v_1 - 12$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{8v_1}{v_2} = \frac{9v_2}{v_1} + 6 \\ 9v_2 = 8v_1 - 12 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно отношения скоростей $\frac{v_1}{v_2}$. Умножим обе части уравнения на $v_1 v_2$ (скорости не равны нулю):

$8v_1^2 = 9v_2^2 + 6v_1v_2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$8v_1^2 - 6v_1v_2 - 9v_2^2 = 0$

Разделим уравнение на $v_2^2$ и введем замену $k = \frac{v_1}{v_2}$:

$8(\frac{v_1}{v_2})^2 - 6(\frac{v_1}{v_2}) - 9 = 0$

$8k^2 - 6k - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$ с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

$k = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm 18}{16}$

Так как скорости являются положительными величинами, их отношение $k$ также должно быть положительным. Поэтому выбираем корень со знаком "плюс":

$k = \frac{6 + 18}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

Таким образом, мы нашли отношение скоростей: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$, откуда $v_1 = \frac{3}{2}v_2$.

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы $9v_2 = 8v_1 - 12$:

$9v_2 = 8 \left(\frac{3}{2}v_2\right) - 12$

$9v_2 = 12v_2 - 12$

$12v_2 - 9v_2 = 12$

$3v_2 = 12$

$v_2 = 4$

Скорость второго туриста равна 4 км/ч. Теперь найдем скорость первого туриста:

$v_1 = \frac{3}{2}v_2 = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$

Скорость первого туриста равна 6 км/ч.

Ответ: Скорость первого туриста — 6 км/ч, скорость второго туриста — 4 км/ч.