Номер 509, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 509, страница 147.

Условие.

509. Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ см и $b$ см.

Диагональ прямоугольника $d$, его стороны $a$ и $b$ связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник: $a^2 + b^2 = d^2$.

Поскольку по условию диагональ $d = 15$ см, мы получаем первое уравнение:
$a^2 + b^2 = 15^2$
$a^2 + b^2 = 225$

Периметр исходного прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Согласно условию, одну сторону уменьшают на 6 см, а другую — на 8 см. Новые стороны будут равны $(a - 6)$ см и $(b - 8)$ см. Заметим, что для существования нового прямоугольника необходимо, чтобы длины его сторон были положительными, т.е. $a > 6$ и $b > 8$ (или наоборот, $a>8$ и $b>6$).

Периметр нового прямоугольника $P_{нов}$ равен:
$P_{нов} = 2((a - 6) + (b - 8)) = 2(a + b - 14)$

В условии сказано, что периметр уменьшился в 3 раза, следовательно, $P = 3 \cdot P_{нов}$.

Составим второе уравнение на основе этого соотношения:
$2(a + b) = 3 \cdot 2(a + b - 14)$

Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 3(a + b - 14)$

Раскроем скобки в правой части:
$a + b = 3a + 3b - 42$

Перенесем члены с переменными в одну сторону, а числа — в другую:
$3a - a + 3b - b = 42$
$2a + 2b = 42$

Разделим обе части на 2:
$a + b = 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases}a^2 + b^2 = 225 \\a + b = 21\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 21 - a$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$a^2 + (21 - a)^2 = 225$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$a^2 + (21^2 - 2 \cdot 21 \cdot a + a^2) = 225$
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0$
$2a^2 - 42a + 216 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$a^2 - 21a + 108 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 108, а сумма равна 21. Эти числа — 9 и 12, так как $9 \cdot 12 = 108$ и $9 + 12 = 21$.

Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 9$ и $a_2 = 12$.

Найдем соответствующие значения для $b$:
Если $a = 9$ см, то $b = 21 - 9 = 12$ см.
Если $a = 12$ см, то $b = 21 - 12 = 9$ см.

Оба варианта дают один и тот же набор сторон для прямоугольника: 9 см и 12 см. Проверим, что эти значения удовлетворяют условию положительности новых сторон: $9>8$ и $12>6$. Условие выполняется.

Ответ: стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.