Номер 508, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

508. Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная $\frac{3}{4}$. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие: если числитель увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная $\frac{3}{4}$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{x+7}{y^2} = \frac{3}{4}$

Второе условие: если числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Запишем второе уравнение:

$\frac{x}{y+6} = \frac{1}{2}$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+7}{y^2} = \frac{3}{4} \\ \frac{x}{y+6} = \frac{1}{2} \end{cases} $

Для решения системы выразим $x$ из второго уравнения:

$2x = y+6 \implies x = \frac{y+6}{2}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{(\frac{y+6}{2})+7}{y^2} = \frac{3}{4}$

Упростим выражение в числителе левой части:

$\frac{\frac{y+6+14}{2}}{y^2} = \frac{3}{4}$

$\frac{\frac{y+20}{2}}{y^2} = \frac{3}{4}$

$\frac{y+20}{2y^2} = \frac{3}{4}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(y+20) = 3(2y^2)$

$4y + 80 = 6y^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$6y^2 - 4y - 80 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$3y^2 - 2y - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Найдем возможные значения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-2) + 22}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 22}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$y_2 = \frac{-(-2) - 22}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 22}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

В условии говорится об "обыкновенной дроби", знаменатель которой по определению является натуральным числом. Поэтому корень $y_2 = -\frac{10}{3}$ не подходит. Следовательно, знаменатель искомой дроби $y=4$.

Теперь найдем числитель $x$, подставив значение $y=4$ в полученное ранее выражение $x = \frac{y+6}{2}$:

$x = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Итак, искомая дробь — $\frac{5}{4}$.

Проверим найденное решение:

1. Подставим в первое условие: $\frac{5+7}{4^2} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. Верно.

2. Подставим во второе условие: $\frac{5}{4+6} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Верно.

Оба условия выполняются.

Ответ: $\frac{5}{4}$.