Номер 506, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 506, страница 147.

Условие.

506. Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр и в 2 раза больше произведения его цифр.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. По определению двузначного числа, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ — любой цифрой от 0 до 9. То есть, $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ и $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$.

Согласно условию задачи, у нас есть два утверждения, которые можно записать в виде системы уравнений:
1. Число в 4 раза больше суммы его цифр: $10a + b = 4(a + b)$.
2. Число в 2 раза больше произведения его цифр: $10a + b = 2(a \cdot b)$.

Решим эту систему. Начнем с упрощения первого уравнения:
$10a + b = 4a + 4b$
$10a - 4a = 4b - b$
$6a = 3b$
Разделив обе части уравнения на 3, получим простое соотношение между цифрами:
$b = 2a$

Теперь мы можем подставить это соотношение во второе уравнение системы, чтобы найти значение $a$:
$10a + (2a) = 2a(2a)$
$12a = 4a^2$

Так как $a$ является цифрой десятков, она не может быть равна нулю ($a \ne 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $4a$:
$\frac{12a}{4a} = \frac{4a^2}{4a}$
$3 = a$

Итак, мы нашли цифру десятков: $a = 3$. Теперь найдем цифру единиц, используя ранее выведенное соотношение $b = 2a$:
$b = 2 \cdot 3 = 6$

Следовательно, искомое число состоит из цифр $a=3$ и $b=6$, что дает нам число 36.

Выполним проверку:
- Сумма цифр числа 36 равна $3 + 6 = 9$. Проверяем первое условие: $4 \cdot 9 = 36$. Верно.
- Произведение цифр числа 36 равно $3 \cdot 6 = 18$. Проверяем второе условие: $2 \cdot 18 = 36$. Верно.
Оба условия выполняются.

Ответ: 36.