Номер 503, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 503, страница 146.

Условие.

503. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомые положительные числа будут $x$ и $y$. Поскольку числа положительные, по условию $x > 0$ и $y > 0$. Чтобы разность была положительной, предположим, что $x > y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: сумма чисел в 5 раз больше их разности. Это можно записать как:

$x + y = 5(x - y)$

Второе условие: разность их квадратов равна 180. Это записывается как:

$x^2 - y^2 = 180$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 5(x - y) \\ x^2 - y^2 = 180 \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение:

$x + y = 5x - 5y$

$y + 5y = 5x - x$

$6y = 4x$

Разделив обе части на 2, получим соотношение между $x$ и $y$:

$3y = 2x$ или $x = \frac{3}{2}y$

Теперь преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - y)(x + y) = 180$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $x + y = 5(x - y)$. Подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:

$(x - y) \cdot [5(x - y)] = 180$

$5(x - y)^2 = 180$

$(x - y)^2 = \frac{180}{5}$

$(x - y)^2 = 36$

Поскольку мы предположили, что $x > y$, разность $x - y$ должна быть положительной.

$x - y = \sqrt{36} = 6$

Теперь, зная разность чисел, мы можем легко найти их сумму из первого условия:

$x + y = 5(x - y) = 5 \cdot 6 = 30$

Мы получили простую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 30 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x - y) + (x + y) = 6 + 30$

$2x = 36$

$x = \frac{36}{2} = 18$

Теперь подставим найденное значение $x = 18$ в уравнение $x + y = 30$, чтобы найти $y$:

$18 + y = 30$

$y = 30 - 18 = 12$

Мы нашли искомые числа: 18 и 12. Проведем проверку.

1. Числа 18 и 12 являются положительными.

2. Сумма $18 + 12 = 30$. Разность $18 - 12 = 6$. Отношение суммы к разности: $\frac{30}{6} = 5$. Условие выполняется.

3. Разность квадратов: $18^2 - 12^2 = 324 - 144 = 180$. Условие выполняется.

Ответ: 18 и 12.