Номер 497, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 497, страница 146.

Условие.

497. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} (x + y)(x - y) = 0, \\ 2x - y = 1; \end{cases} $

Первое уравнение $(x + y)(x - y) = 0$ выполняется, если один из множителей равен нулю. Это означает, что либо $x + y = 0$, либо $x - y = 0$. Таким образом, решение исходной системы сводится к решению двух независимых систем уравнений.

Случай 1: $x + y = 0$.

Решаем систему: $ \begin{cases} x + y = 0, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $
Из первого уравнения выражаем $y$: $y = -x$.
Подставляем это выражение во второе уравнение: $2x - (-x) = 1$.
$3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$.
Теперь находим $y$: $y = -x = -\frac{1}{3}$.
Первая пара решений: $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.

Случай 2: $x - y = 0$.

Решаем систему: $ \begin{cases} x - y = 0, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $
Из первого уравнения выражаем $y$: $y = x$.
Подставляем это выражение во второе уравнение: $2x - x = 1$.
$x = 1$.
Теперь находим $y$: $y = x = 1$.
Вторая пара решений: $(1, 1)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$; $(1, 1)$.

б)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ (x - 7y)(x + 7y) = 0; \end{cases} $

Второе уравнение $(x - 7y)(x + 7y) = 0$ выполняется, если либо $x - 7y = 0$, либо $x + 7y = 0$. Рассматриваем два случая.

Случай 1: $x - 7y = 0$.

Решаем систему: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ x - 7y = 0. \end{cases} $
Из второго уравнения $x = 7y$.
Подставляем в первое уравнение: $(7y)^2 + y^2 = 100$.
$49y^2 + y^2 = 100$.
$50y^2 = 100$, откуда $y^2 = 2$.
Значит, $y_1 = \sqrt{2}$ и $y_2 = -\sqrt{2}$.
Если $y_1 = \sqrt{2}$, то $x_1 = 7y_1 = 7\sqrt{2}$.
Если $y_2 = -\sqrt{2}$, то $x_2 = 7y_2 = -7\sqrt{2}$.
Получаем две пары решений: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Случай 2: $x + 7y = 0$.

Решаем систему: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ x + 7y = 0. \end{cases} $
Из второго уравнения $x = -7y$.
Подставляем в первое уравнение: $(-7y)^2 + y^2 = 100$.
$49y^2 + y^2 = 100$.
$50y^2 = 100$, откуда $y^2 = 2$.
Значит, $y_3 = \sqrt{2}$ и $y_4 = -\sqrt{2}$.
Если $y_3 = \sqrt{2}$, то $x_3 = -7y_3 = -7\sqrt{2}$.
Если $y_4 = -\sqrt{2}$, то $x_4 = -7y_4 = 7\sqrt{2}$.
Получаем еще две пары решений: $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$; $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$; $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$; $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

в)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ (x - 3)(y - 5) = 0; \end{cases} $

Второе уравнение $(x - 3)(y - 5) = 0$ выполняется, если либо $x - 3 = 0$, либо $y - 5 = 0$. Рассматриваем два случая.

Случай 1: $x - 3 = 0$.

Из этого уравнения следует, что $x = 3$. Подставим это значение в первое уравнение системы:
$3^2 + y^2 = 25$.
$9 + y^2 = 25$.
$y^2 = 25 - 9 = 16$.
Отсюда $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.
Получаем две пары решений: $(3, 4)$ и $(3, -4)$.

Случай 2: $y - 5 = 0$.

Из этого уравнения следует, что $y = 5$. Подставим это значение в первое уравнение системы:
$x^2 + 5^2 = 25$.
$x^2 + 25 = 25$.
$x^2 = 0$.
Отсюда $x_3 = 0$.
Получаем еще одну пару решений: $(0, 5)$.

Ответ: $(3, 4)$; $(3, -4)$; $(0, 5)$.

г)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 50, \\ x(y + 1) = 0. \end{cases} $

Второе уравнение $x(y + 1) = 0$ выполняется, если либо $x = 0$, либо $y + 1 = 0$. Рассматриваем два случая.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое уравнение системы:
$0^2 - y^2 = 50$.
$-y^2 = 50$.
$y^2 = -50$.
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $y + 1 = 0$.

Из этого уравнения следует, что $y = -1$. Подставим это значение в первое уравнение системы:
$x^2 - (-1)^2 = 50$.
$x^2 - 1 = 50$.
$x^2 = 51$.
Отсюда $x_1 = \sqrt{51}$ и $x_2 = -\sqrt{51}$.
Получаем две пары решений: $(\sqrt{51}, -1)$ и $(-\sqrt{51}, -1)$.

Ответ: $(\sqrt{51}, -1)$; $(-\sqrt{51}, -1)$.