Номер 495, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 495, страница 145.

Условие.

495. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 3x - 4y = 20 \\ x^2 - 2x + y = -5 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения (в данном случае вычитания), чтобы исключить член $x^2$. Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + 3x - 4y) - (x^2 - 2x + y) = 20 - (-5)$
Раскроем скобки:
$x^2 + 3x - 4y - x^2 + 2x - y = 20 + 5$
Приведем подобные слагаемые:
$5x - 5y = 25$

Разделим обе части полученного линейного уравнения на 5:
$x - y = 5$
Из этого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = x - 5$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в любое из уравнений исходной системы. Подставим во второе уравнение, так как оно проще:
$x^2 - 2x + (x - 5) = -5$
$x^2 - 2x + x - 5 = -5$
$x^2 - x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя ранее выведенную зависимость $y = x - 5$:
1. При $x_1 = 0$, $y_1 = 0 - 5 = -5$. Первое решение системы: $(0; -5)$.
2. При $x_2 = 1$, $y_2 = 1 - 5 = -4$. Второе решение системы: $(1; -4)$.

Ответ: $(0; -5)$, $(1; -4)$.

б) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y^2 + 3x - y = 1 \\ y^2 + 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Правые части уравнений равны, что позволяет приравнять их левые части. Также можно вычесть одно уравнение из другого, чтобы исключить член $y^2$. Вычтем первое уравнение из второго:
$(y^2 + 6x - 2y) - (y^2 + 3x - y) = 1 - 1$
Раскроем скобки и упростим:
$y^2 + 6x - 2y - y^2 - 3x + y = 0$
$3x - y = 0$

Из полученного простого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$(3x)^2 + 3x - (3x) = 1$
$9x^2 + 3x - 3x = 1$
$9x^2 = 1$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Извлекая квадратный корень, получаем два значения для $x$:
$x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = 3x$:
1. При $x_1 = \frac{1}{3}$, $y_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$. Первое решение: $(\frac{1}{3}; 1)$.
2. При $x_2 = -\frac{1}{3}$, $y_2 = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$. Второе решение: $(-\frac{1}{3}; -1)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 1)$, $(-\frac{1}{3}; -1)$.