Номер 499, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 499, страница 146.

Условие.

499. Имеет ли решения система уравнений

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, имеет ли данная система уравнений решения, мы можем решить подсистему из двух уравнений и затем проверить, удовлетворяют ли найденные решения третьему уравнению.

Возьмем первые два уравнения:

$$ \begin{cases} 3x - 4y = -2 \\ 3x + y^2 = 10 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $x$:

$(3x + y^2) - (3x - 4y) = 10 - (-2)$

$y^2 + 4y = 12$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 4y - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, разложив на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $4$. Это числа $6$ и $-2$.

$(y + 6)(y - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = -6$ и $y_2 = 2$.

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$. Воспользуемся первым уравнением $3x = 4y - 2$.

1. Если $y_1 = -6$:

$3x_1 = 4(-6) - 2 = -24 - 2 = -26 \implies x_1 = -\frac{26}{3}$

Получили пару $(-\frac{26}{3}, -6)$.

2. Если $y_2 = 2$:

$3x_2 = 4(2) - 2 = 8 - 2 = 6 \implies x_2 = 2$

Получили пару $(2, 2)$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти пары третьему уравнению системы: $x^2 - y^2 - x + y = 100$.

Проверка для пары $(-\frac{26}{3}, -6)$:

Подставим $x = -\frac{26}{3}$ и $y = -6$ в левую часть уравнения:

$(-\frac{26}{3})^2 - (-6)^2 - (-\frac{26}{3}) + (-6) = \frac{676}{9} - 36 + \frac{26}{3} - 6 = \frac{676}{9} - 42 + \frac{78}{9} = \frac{754}{9} - \frac{378}{9} = \frac{376}{9}$

Так как $\frac{376}{9} \neq 100$, эта пара не является решением системы.

Проверка для пары $(2, 2)$:

Подставим $x = 2$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$2^2 - 2^2 - 2 + 2 = 4 - 4 - 2 + 2 = 0$

Так как $0 \neq 100$, эта пара также не является решением системы.

Поскольку ни одно из решений подсистемы из первых двух уравнений не удовлетворяет третьему уравнению, исходная система уравнений не имеет решений.

Ответ: система уравнений не имеет решений.