Номер 505, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

505. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30. Найдите эти числа.

Обозначим первое искомое число как $x$, а второе как $y$.

Из условия "разность квадратов двух чисел равна 100" получаем первое уравнение:

$x^2 - y^2 = 100$

Из условия "если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30" получаем второе уравнение:

$3x - 2y = 30$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 100 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из второго уравнения:

$2y = 3x - 30$

$y = \frac{3x - 30}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{3x - 30}{2}\right)^2 = 100$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 - \frac{(3x - 30)^2}{4} = 100$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4x^2 - (3x - 30)^2 = 400$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$4x^2 - (9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 30 + 30^2) = 400$

$4x^2 - (9x^2 - 180x + 900) = 400$

$4x^2 - 9x^2 + 180x - 900 = 400$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$-5x^2 + 180x - 900 - 400 = 0$

$-5x^2 + 180x - 1300 = 0$

Разделим уравнение на -5 для удобства вычислений:

$x^2 - 36x + 260 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни для $x$:

$x_1 = \frac{-(-36) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-(-36) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя ранее выведенную формулу $y = \frac{3x - 30}{2}$.

1. Если $x_1 = 26$:

$y_1 = \frac{3 \cdot 26 - 30}{2} = \frac{78 - 30}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Первая пара чисел — (26; 24).

2. Если $x_2 = 10$:

$y_2 = \frac{3 \cdot 10 - 30}{2} = \frac{30 - 30}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Вторая пара чисел — (10; 0).

Проведем проверку для найденных пар чисел.

Проверка для (26; 24):

$26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100$ (верно).

$3 \cdot 26 - 2 \cdot 24 = 78 - 48 = 30$ (верно).

Проверка для (10; 0):

$10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$ (верно).

$3 \cdot 10 - 2 \cdot 0 = 30 - 0 = 30$ (верно).

Обе пары чисел являются решениями задачи.

Ответ: 26 и 24, или 10 и 0.