Номер 510, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 510, страница 147.
№510 (с. 147)
Условие. №510 (с. 147)
скриншот условия

510. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?
Решение 1. №510 (с. 147)




Решение 2. №510 (с. 147)

Решение 3. №510 (с. 147)

Решение 4. №510 (с. 147)

Решение 5. №510 (с. 147)

Решение 7. №510 (с. 147)

Решение 8. №510 (с. 147)
Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ — это время в часах, за которое первая труба наполняет бассейн, работая в одиночку, а $t_2$ — время в часах, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая в одиночку. Тогда производительность первой трубы (часть бассейна, наполняемая за час) равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, а производительность второй трубы — $p_2 = \frac{1}{t_2}$.
Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
Первое условие: бассейн наполняется через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую. Это означает, что время работы первой трубы на 5 часов меньше времени работы второй:
$t_2 = t_1 + 5$
Второе условие: бассейн можно наполнить, если первая труба будет работать 5 часов, а затем вторая — 7,5 часов. За это время они выполнят всю работу, которую мы принимаем за 1 (один полный бассейн). Объем работы, выполненной первой трубой, равен $5 \cdot p_1 = \frac{5}{t_1}$. Объем работы, выполненной второй трубой, равен $7.5 \cdot p_2 = \frac{7.5}{t_2}$. Суммарный объем работы равен 1:
$\frac{5}{t_1} + \frac{7.5}{t_2} = 1$
Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим выражение для $t_2$ из первого уравнения во второе:
$\frac{5}{t_1} + \frac{7.5}{t_1 + 5} = 1$
Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $t_1(t_1 + 5)$ и умножим на него обе части уравнения (при условии, что $t_1 > 0$):
$5(t_1 + 5) + 7.5t_1 = t_1(t_1 + 5)$
Раскроем скобки:
$5t_1 + 25 + 7.5t_1 = t_1^2 + 5t_1$
Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$12.5t_1 + 25 = t_1^2 + 5t_1$
$t_1^2 + 5t_1 - 12.5t_1 - 25 = 0$
$t_1^2 - 7.5t_1 - 25 = 0$
Для удобства умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$2t_1^2 - 15t_1 - 50 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 225 + 400 = 625$
Найдем корни уравнения:
$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 25}{4} = \frac{40}{4} = 10$
$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 25}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Так как время не может быть отрицательным, корень $t_{1,2} = -2.5$ не имеет физического смысла. Следовательно, время наполнения бассейна первой трубой составляет $t_1 = 10$ часов.
Теперь найдем время наполнения для второй трубы:
$t_2 = t_1 + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.
Итак, первая труба наполняет бассейн за 10 часов, а вторая — за 15 часов.
Осталось найти, за сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб. Совместная производительность $p_{общ}$ равна сумме производительностей каждой трубы:
$p_{общ} = p_1 + p_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$p_{общ} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
Совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Чтобы найти общее время $T$ для наполнения всего бассейна, нужно разделить объем работы (1) на общую производительность:
$T = \frac{1}{p_{общ}} = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.
Ответ: 6 часов.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 510 расположенного на странице 147 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №510 (с. 147), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.