Номер 510, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 510, страница 147.

Условие.

510. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ — это время в часах, за которое первая труба наполняет бассейн, работая в одиночку, а $t_2$ — время в часах, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая в одиночку. Тогда производительность первой трубы (часть бассейна, наполняемая за час) равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, а производительность второй трубы — $p_2 = \frac{1}{t_2}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: бассейн наполняется через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую. Это означает, что время работы первой трубы на 5 часов меньше времени работы второй:

$t_2 = t_1 + 5$

Второе условие: бассейн можно наполнить, если первая труба будет работать 5 часов, а затем вторая — 7,5 часов. За это время они выполнят всю работу, которую мы принимаем за 1 (один полный бассейн). Объем работы, выполненной первой трубой, равен $5 \cdot p_1 = \frac{5}{t_1}$. Объем работы, выполненной второй трубой, равен $7.5 \cdot p_2 = \frac{7.5}{t_2}$. Суммарный объем работы равен 1:

$\frac{5}{t_1} + \frac{7.5}{t_2} = 1$

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим выражение для $t_2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{5}{t_1} + \frac{7.5}{t_1 + 5} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $t_1(t_1 + 5)$ и умножим на него обе части уравнения (при условии, что $t_1 > 0$):

$5(t_1 + 5) + 7.5t_1 = t_1(t_1 + 5)$

Раскроем скобки:

$5t_1 + 25 + 7.5t_1 = t_1^2 + 5t_1$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$12.5t_1 + 25 = t_1^2 + 5t_1$

$t_1^2 + 5t_1 - 12.5t_1 - 25 = 0$

$t_1^2 - 7.5t_1 - 25 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$2t_1^2 - 15t_1 - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 225 + 400 = 625$

Найдем корни уравнения:

$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 25}{4} = \frac{40}{4} = 10$

$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 25}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Так как время не может быть отрицательным, корень $t_{1,2} = -2.5$ не имеет физического смысла. Следовательно, время наполнения бассейна первой трубой составляет $t_1 = 10$ часов.

Теперь найдем время наполнения для второй трубы:

$t_2 = t_1 + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.

Итак, первая труба наполняет бассейн за 10 часов, а вторая — за 15 часов.

Осталось найти, за сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб. Совместная производительность $p_{общ}$ равна сумме производительностей каждой трубы:

$p_{общ} = p_1 + p_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$p_{общ} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

Совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Чтобы найти общее время $T$ для наполнения всего бассейна, нужно разделить объем работы (1) на общую производительность:

$T = \frac{1}{p_{общ}} = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.