Номер 513, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 513, страница 147.

Условие.

513. Из пунктов M и N выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них приехал в пункт N через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в пункт M через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами M и N равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $v_1$ (в км/ч) – скорость автомобиля, выехавшего из пункта М, а $v_2$ (в км/ч) – скорость автомобиля, выехавшего из пункта N. Пусть автомобили встретились через $t$ часов после начала движения.

Переведем время, затраченное автомобилями на путь после встречи, в часы: Время первого автомобиля (который ехал в N): $t_1 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч } = 1.25 \text{ ч}$. Время второго автомобиля (который ехал в M): $t_2 = 48 \text{ мин } = \frac{48}{60} \text{ ч } = 0.8 \text{ ч}$.

До момента встречи первый автомобиль (из М) проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$, а второй (из N) – $S_2 = v_2 \cdot t$. После встречи первому автомобилю осталось проехать расстояние $S_2$, и он преодолел его за время $t_1$. Таким образом, $S_2 = v_1 \cdot t_1$. Второму автомобилю после встречи осталось проехать расстояние $S_1$, и он преодолел его за время $t_2$. Таким образом, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

Сопоставим выражения для расстояний $S_1$ и $S_2$: $v_1 \cdot t = v_2 \cdot t_2$ $v_2 \cdot t = v_1 \cdot t_1$

Из этих уравнений можно выразить отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$ двумя способами: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t}$ $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{t_1}$

Приравняв правые части, получим уравнение для времени встречи $t$: $\frac{t_2}{t} = \frac{t}{t_1} \implies t^2 = t_1 \cdot t_2$ Подставим числовые значения: $t^2 = 1.25 \cdot 0.8 = 1$ Так как время не может быть отрицательным, $t = 1$ час.

До встречи автомобили двигались навстречу друг другу в течение 1 часа и вместе преодолели все расстояние 90 км. Скорость их сближения равна $v_1 + v_2$. $(v_1 + v_2) \cdot t = 90$ $(v_1 + v_2) \cdot 1 = 90$ $v_1 + v_2 = 90$

Теперь найдем отношение скоростей, используя одно из ранее полученных выражений и найденное значение $t$: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{t_1} = \frac{1}{1.25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$ Отсюда $v_1 = \frac{4}{5} v_2$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
1) $v_1 + v_2 = 90$
2) $v_1 = \frac{4}{5} v_2$
Подставим второе уравнение в первое: $\frac{4}{5} v_2 + v_2 = 90$ $\frac{9}{5} v_2 = 90$ $v_2 = 90 \cdot \frac{5}{9} = 50$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля: $v_1 = \frac{4}{5} \cdot v_2 = \frac{4}{5} \cdot 50 = 40$ км/ч.

Итак, скорость автомобиля, выехавшего из пункта М, составляет 40 км/ч, а скорость автомобиля, выехавшего из пункта N, – 50 км/ч.

Ответ: Скорость одного автомобиля 40 км/ч, а другого — 50 км/ч.