Номер 515, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 515, страница 148.

Условие.

515. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) y – 2x › 2;

б) x + y ‹ –1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y - 2x > 2$

Для того чтобы изобразить множество решений неравенства на координатной плоскости, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразуем неравенство, выразив $y$ через $x$, чтобы получить вид, удобный для построения графика:$y > 2x + 2$

2. Построим граничную прямую, которая соответствует равенству $y = 2x + 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:
- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
- при $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

3. Определим тип линии. Поскольку неравенство строгое (знак $>$), точки, лежащие на самой прямой $y = 2x + 2$, не входят в множество решений. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной линией.

4. Выберем, какую из двух полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость, нужно заштриховать. Для этого возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим её координаты в исходное неравенство:
$0 - 2 \cdot 0 > 2$
$0 > 2$
Это утверждение ложно. Следовательно, полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$, не является решением. Решением является противоположная полуплоскость, то есть та, что лежит выше прямой.

Ответ: Множеством решений неравенства является открытая полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y = 2x + 2$, которая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, 2)$.

б) $x + y < -1$

Решим данное неравенство аналогичным образом.

1. Преобразуем неравенство, выразив $y$ через $x$:
$y < -x - 1$

2. Построим граничную прямую $y = -x - 1$. Найдем две точки для построения:
- при $x = 0$, $y = -0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
- при $x = -1$, $y = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

3. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки на прямой $y = -x - 1$ не являются решениями. Следовательно, прямую нужно изобразить пунктирной линией.

4. Чтобы определить искомую полуплоскость, используем пробную точку $(0, 0)$. Подставляем её координаты в исходное неравенство:
$0 + 0 < -1$
$0 < -1$
Это утверждение ложно. Значит, решением является полуплоскость, которая не содержит начало координат. Это область, расположенная ниже прямой $y = -x - 1$.

Ответ: Множеством решений неравенства является открытая полуплоскость, расположенная ниже пунктирной прямой $y = -x - 1$, которая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.