Номер 522, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 522, страница 148.

Условие.

522. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 25, \\ xy \le 0; \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ задает множество точек на координатной плоскости, расстояние от которых до начала координат $(0,0)$ не превышает 5. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Граница круга, то есть окружность $x^2 + y^2 = 25$, также является частью решения.

Второе неравенство $xy \le 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют разные знаки или хотя бы одна из них равна нулю. Это соответствует точкам, расположенным во второй ($x \le 0, y \ge 0$) и четвертой ($x \ge 0, y \le 0$) координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ или $y=0$) также входят в это множество.

Решением системы является пересечение множеств, заданных каждым из неравенств. Таким образом, искомое множество точек — это часть круга радиусом 5 с центром в начале координат, которая лежит во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку неравенства нестрогие, границы (дуги окружности и отрезки осей координат внутри круга) также включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой два замкнутых сектора круга радиусом 5 с центром в начале координат, расположенные во второй и четвертой координатных четвертях.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 9, \\ xy \ge 0. \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 9$ задает множество точек на координатной плоскости, расстояние от которых до начала координат $(0,0)$ не меньше 3. Геометрически это вся плоскость, за исключением открытого круга с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Граница, то есть окружность $x^2 + y^2 = 9$, является частью решения.

Второе неравенство $xy \ge 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки или хотя бы одна из них равна нулю. Это соответствует точкам, расположенным в первой ($x \ge 0, y \ge 0$) и третьей ($x \le 0, y \le 0$) координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ или $y=0$) также входят в это множество.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Искомое множество точек — это часть первой и третьей координатных четвертей, из которой исключены точки, находящиеся внутри круга радиусом 3. Поскольку неравенства нестрогие, границы (дуги окружности и части осей координат вне круга) также включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой часть координатной плоскости, расположенную в первой и третьей координатных четвертях, из которой удален открытый круг радиусом 3 с центром в начале координат.