Номер 520, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

520. Какое множество точек задаёт на координатной плоскости неравенство:

а) (x – 1)(y – 1) ≥ 0;

б) x² – y² › 0?

а)

Данное неравенство $(x - 1)(y - 1) \ge 0$ выполняется, когда оба сомножителя, $(x - 1)$ и $(y - 1)$, имеют одинаковый знак или когда один из них равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Оба сомножителя неотрицательны.
$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ y - 1 \ge 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ y \ge 1 \end{cases} $
На координатной плоскости это множество точек представляет собой бесконечную область, расположенную одновременно правее прямой $x=1$ и выше прямой $y=1$. Границы $x=1$ и $y=1$ включены в эту область.

Случай 2: Оба сомножителя неположительны.
$ \begin{cases} x - 1 \le 0 \\ y - 1 \le 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x \le 1 \\ y \le 1 \end{cases} $
На координатной плоскости это множество точек представляет собой бесконечную область, расположенную одновременно левее прямой $x=1$ и ниже прямой $y=1$. Границы $x=1$ и $y=1$ также включены в эту область.

Общее решение является объединением множеств точек из этих двух случаев. Прямые $x=1$ и $y=1$ делят плоскость на четыре части (угла). Решением являются два вертикальных (противоположных) угла, включая их границы (сами прямые).

Ответ: Объединение двух замкнутых областей: первая определяется системой неравенств $\{x \ge 1, y \ge 1\}$, а вторая — системой $\{x \le 1, y \le 1\}$. Геометрически это два вертикальных угла, образованных пересекающимися прямыми $x=1$ и $y=1$, включая сами прямые.

б)

Рассмотрим неравенство $x^2 - y^2 > 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - y)(x + y) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда оба сомножителя, $(x - y)$ и $(x + y)$, имеют одинаковый знак. Границами областей являются прямые, где эти выражения равны нулю: $x - y = 0$ (то есть $y = x$) и $x + y = 0$ (то есть $y = -x$). Эти прямые являются биссектрисами координатных углов и делят плоскость на четыре открытых угла.

Случай 1: Оба сомножителя положительны.
$ \begin{cases} x - y > 0 \\ x + y > 0 \end{cases} $
Что равносильно системе:
$ \begin{cases} y < x \\ y > -x \end{cases} $
Это открытая область, заключенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$, которая содержит положительную часть оси Ox.

Случай 2: Оба сомножителя отрицательны.
$ \begin{cases} x - y < 0 \\ x + y < 0 \end{cases} $
Что равносильно системе:
$ \begin{cases} y > x \\ y < -x \end{cases} $
Это открытая область, заключенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$, которая содержит отрицательную часть оси Ox.

Объединив эти два случая, мы получаем два вертикальных угла, ограниченных прямыми $y=x$ и $y=-x$. Неравенство $x^2 > y^2$ также можно переписать как $|x| > |y|$, что означает, что искомое множество состоит из всех точек, у которых модуль абсциссы больше модуля ординаты.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри двух вертикальных углов, образованных пересечением прямых $y=x$ и $y=-x$ и содержащих ось абсцисс. Границы углов (сами прямые $y=x$ и $y=-x$) в это множество не входят.