Номер 518, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 518, страница 148.

Условие.

518. Какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^2 + y^2 - 4x - 8y \le 0$

Чтобы определить, какое множество точек задает это неравенство, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Это позволит привести неравенство к каноническому виду уравнения окружности.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и $y$:

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) \le 0$

Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого используем формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для слагаемых с $x$: $x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $2^2=4$.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Для слагаемых с $y$: $y^2 - 8y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $4^2=16$.

$(y^2 - 8y + 16) - 16 = (y-4)^2 - 16$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное неравенство:

$((x-2)^2 - 4) + ((y-4)^2 - 16) \le 0$

Перенесем свободные члены в правую часть неравенства:

$(x-2)^2 + (y-4)^2 \le 20$

Мы получили неравенство, которое описывает круг. Уравнение $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ задает окружность с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$. В нашем случае центр круга находится в точке $C(2; 4)$, а квадрат радиуса равен $20$. Таким образом, радиус $R = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Знак $\le$ означает, что искомое множество точек включает как точки, лежащие внутри окружности, так и точки на самой окружности (на границе).

Ответ: множество точек, задаваемое данным неравенством, представляет собой круг с центром в точке $(2; 4)$ и радиусом $2\sqrt{5}$, включая его границу.

б) $x^2 - 6x + y + 4 > 0$

Это неравенство содержит $x^2$, но не содержит $y^2$, что указывает на параболу. Чтобы определить множество точек, выразим $y$ через $x$.

Перенесем все члены, кроме $y$, в правую часть неравенства:

$y > -x^2 + 6x - 4$

Это неравенство задает все точки $(x; y)$, ординаты которых больше, чем ординаты точек, лежащих на параболе $y = -x^2 + 6x - 4$. То есть, это область плоскости, расположенная "над" этой параболой. Так как неравенство строгое ($>$), точки на самой параболе не входят в искомое множество.

Определим параметры параболы $y = -x^2 + 6x - 4$.

Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$. Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей параболы $a=-1$, $b=6$.

$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_v=3$ в уравнение параболы:

$y_v = -(3)^2 + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 5)$.

Альтернативно, можно было выделить полный квадрат для $x$ в уравнении параболы:

$y = -(x^2 - 6x) - 4 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4 = -((x-3)^2 - 9) - 4 = -(x-3)^2 + 9 - 4 = -(x-3)^2 + 5$.

Из канонического вида $y = -(x-3)^2 + 5$ также видно, что вершина находится в точке $(3; 5)$, и ветви направлены вниз.

Итак, искомое множество точек — это все точки координатной плоскости, которые лежат строго выше параболы $y = -x^2 + 6x - 4$.

Ответ: множество точек, задаваемое данным неравенством, представляет собой область плоскости, расположенную над параболой $y = -x^2 + 6x - 4$. Вершина этой параболы находится в точке $(3; 5)$, а ее ветви направлены вниз. Граница (сама парабола) не включается в это множество.