Номер 511, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

511. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $t_1$ — время в часах, за которое первая труба может наполнить весь бассейн, работая одна.
Пусть $t_2$ — время в часах, за которое вторая труба может наполнить весь бассейн, работая одна.

Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$ бассейна в час, а производительность второй трубы — $p_2 = \frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

Из условия известно, что вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем первая. Это означает, что второй трубе требуется в 1,5 раза меньше времени. Математически это выражается как:
$t_1 = 1.5 \cdot t_2$
Или, в терминах производительности:
$\frac{1}{p_1} = 1.5 \cdot \frac{1}{p_2} \implies p_2 = 1.5 \cdot p_1$

Теперь рассмотрим процесс наполнения бассейна согласно условию. Весь объем бассейна примем за 1.

1. Сначала первая труба работала одна в течение 2 часов. За это время она наполнила часть бассейна, равную:
$V_1 = p_1 \cdot 2 = \frac{1}{t_1} \cdot 2 = \frac{2}{t_1}$

2. Затем, не закрывая первую трубу, открыли вторую. Обе трубы работали вместе 4 часа. Их совместная производительность равна $p_1 + p_2$. За 4 часа они наполнили часть бассейна, равную:
$V_2 = (p_1 + p_2) \cdot 4 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 4$

3. В результате этих двух этапов бассейн был полностью наполнен. Сумма объемов, залитых на каждом этапе, равна общему объему бассейна (1):
$V_1 + V_2 = 1$
$\frac{2}{t_1} + 4(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $\frac{2}{t_1} + \frac{4}{t_1} + \frac{4}{t_2} = 1 \implies \frac{6}{t_1} + \frac{4}{t_2} = 1$
2) $t_1 = 1.5 \cdot t_2$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы исключить переменную $t_1$:
$\frac{6}{1.5 \cdot t_2} + \frac{4}{t_2} = 1$

Упростим первое слагаемое. Так как $1.5 = \frac{3}{2}$, то:
$\frac{6}{(3/2) \cdot t_2} = \frac{6 \cdot 2}{3 \cdot t_2} = \frac{12}{3t_2} = \frac{4}{t_2}$

Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{4}{t_2} + \frac{4}{t_2} = 1$
$\frac{8}{t_2} = 1$
Отсюда находим $t_2$:
$t_2 = 8$ часов.

Зная $t_2$, найдем $t_1$ из второго уравнения системы:
$t_1 = 1.5 \cdot t_2 = 1.5 \cdot 8 = 12$ часов.

Таким образом, первая труба наполняет бассейн за 12 часов, а вторая — за 8 часов.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 12 часов, а вторая труба — за 8 часов.