Номер 504, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 504, страница 146.

Условие.

504. Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первое искомое число — x, а второе — y.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений. Первое условие "Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы" можно записать как $xy = 15(x + y)$. Второе условие "Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100" можно записать как $x + 2y = 100$.

Получаем систему:
$\begin{cases} xy = 15(x + y) \\ x + 2y = 100 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим x через y:
$x = 100 - 2y$

Подставим это выражение для x в первое уравнение системы:
$(100 - 2y)y = 15((100 - 2y) + y)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$100y - 2y^2 = 15(100 - y)$
$100y - 2y^2 = 1500 - 15y$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:
$2y^2 - 100y - 15y + 1500 = 0$
$2y^2 - 115y + 1500 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1500 = 13225 - 12000 = 1225$

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$. Теперь найдем два возможных значения для y:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 + 35}{2 \cdot 2} = \frac{150}{4} = 37.5$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 - 35}{2 \cdot 2} = \frac{80}{4} = 20$

Для каждого найденного значения y найдем соответствующее значение x по формуле $x = 100 - 2y$.
Если $y_1 = 37.5$, то $x_1 = 100 - 2(37.5) = 100 - 75 = 25$. Первая пара чисел (25; 37.5).
Если $y_2 = 20$, то $x_2 = 100 - 2(20) = 100 - 40 = 60$. Вторая пара чисел (60; 20).

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 25 и 37.5, или 60 и 20.