Номер 501, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 501, страница 146.

Условие.

501. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6$

$2x^2 + 2x = 24$

Разделим обе части на 2:

$x^2 + x = 12$

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + y^2 + x + y) - (x^2 - y^2 + x - y) = 18 - 6$

$2y^2 + 2y = 12$

Разделим обе части на 2:

$y^2 + y = 6$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Таким образом, мы получили возможные значения для $x \in \{3, -4\}$ и $y \in \{2, -3\}$. Необходимо выполнить проверку, подставив все возможные комбинации пар $(x, y)$ в одно из исходных уравнений (например, в первое $x^2 + y^2 + x + y = 18$).

• Проверка пары $(3, 2)$: $3^2 + 2^2 + 3 + 2 = 9 + 4 + 3 + 2 = 18$. Верно.
• Проверка пары $(3, -3)$: $3^2 + (-3)^2 + 3 + (-3) = 9 + 9 + 0 = 18$. Верно.
• Проверка пары $(-4, 2)$: $(-4)^2 + 2^2 - 4 + 2 = 16 + 4 - 4 + 2 = 18$. Верно.
• Проверка пары $(-4, -3)$: $(-4)^2 + (-3)^2 - 4 - 3 = 16 + 9 - 7 = 18$. Верно.

Все четыре пары являются решениями системы. Проверка по второму уравнению дает те же результаты.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -3)$, $(-4, 2)$, $(-4, -3)$.

б) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 72 \\ x + y = 6 \end{cases} $

В первом уравнении введем замену $t = xy$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t = 72$

$t^2 + t - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -9$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $xy = 8$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 6 \\ xy = 8 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y = 6 - x$ и подставим во второе:

$x(6 - x) = 8$

$6x - x^2 = 8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Если $x=2$, то $y=6-2=4$. Если $x=4$, то $y=6-4=2$. Получаем решения $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Случай 2: $xy = -9$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 6 \\ xy = -9 \end{cases} $

Снова подставляем $y = 6 - x$ во второе уравнение:

$x(6 - x) = -9$

$6x - x^2 = -9$

$x^2 - 6x - 9 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}$.

Если $x = 3 + 3\sqrt{2}$, то $y = 6 - (3 + 3\sqrt{2}) = 3 - 3\sqrt{2}$.

Если $x = 3 - 3\sqrt{2}$, то $y = 6 - (3 - 3\sqrt{2}) = 3 + 3\sqrt{2}$.

Получаем решения $(3 + 3\sqrt{2}, 3 - 3\sqrt{2})$ и $(3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2})$.

Ответ: $(2, 4)$, $(4, 2)$, $(3 + 3\sqrt{2}, 3 - 3\sqrt{2})$, $(3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2})$.

в) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x+y)^2 - 2(x+y) = 15 \\ x + xy + y = 11 \end{cases} $

Введем замену $u = x+y$. Первое уравнение примет вид:

$u^2 - 2u - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $u_1 = 5$, $u_2 = -3$.

Второе уравнение системы можно переписать как $(x+y) + xy = 11$, или $u + xy = 11$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = x+y = 5$.

Подставим это значение во второе уравнение: $5 + xy = 11$, откуда $xy = 6$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$. Корни этого уравнения $z_1=2, z_2=3$.

Следовательно, решениями являются пары $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $u = x+y = -3$.

Подставим это значение во второе уравнение: $-3 + xy = 11$, откуда $xy = 14$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 14 \end{cases} $

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $z^2 - (-3)z + 14 = 0$, то есть $z^2 + 3z + 14 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 9 - 56 = -47$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

г) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x+y)^2 - 4(x+y) = 45 \\ (x-y)^2 - 2(x-y) = 3 \end{cases} $

Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = x-y$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 - 4u = 45 \\ v^2 - 2v = 3 \end{cases} $

Решим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение: $u^2 - 4u - 45 = 0$. По теореме Виета, корни $u_1 = 9$, $u_2 = -5$.

Второе уравнение: $v^2 - 2v - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $v_1 = 3$, $v_2 = -1$.

Теперь нужно решить системы для всех комбинаций $u$ и $v$. Вспомним, что $x = \frac{u+v}{2}$ и $y = \frac{u-v}{2}$.

1. $u=9, v=3$:

$x = \frac{9+3}{2} = 6$, $y = \frac{9-3}{2} = 3$. Решение $(6, 3)$.

2. $u=9, v=-1$:

$x = \frac{9+(-1)}{2} = 4$, $y = \frac{9-(-1)}{2} = 5$. Решение $(4, 5)$.

3. $u=-5, v=3$:

$x = \frac{-5+3}{2} = -1$, $y = \frac{-5-3}{2} = -4$. Решение $(-1, -4)$.

4. $u=-5, v=-1$:

$x = \frac{-5+(-1)}{2} = -3$, $y = \frac{-5-(-1)}{2} = -2$. Решение $(-3, -2)$.

Ответ: $(6, 3)$, $(4, 5)$, $(-1, -4)$, $(-3, -2)$.