Номер 502, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 502, страница 146.

Условие.

502. Если умножить квадратный трёхчлен ax² – 2x + b на квадратный трёхчлен x² + ax – 1, то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при x² и x соответственно равны 8 и –2. Найдите a и b.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти значения a и b, необходимо перемножить заданные квадратные трёхчлены и привести полученное выражение к стандартному виду многочлена.

Выполним умножение $(ax^2 - 2x + b)(x^2 + ax - 1)$:
$(ax^2 - 2x + b)(x^2 + ax - 1) = ax^2(x^2 + ax - 1) - 2x(x^2 + ax - 1) + b(x^2 + ax - 1)$
$= (ax^4 + a^2x^3 - ax^2) - (2x^3 + 2ax^2 - 2x) + (bx^2 + abx - b)$

Теперь сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$:
$ax^4 + (a^2 - 2)x^3 + (-a - 2a + b)x^2 + (2 + ab)x - b$
$= ax^4 + (a^2 - 2)x^3 + (b - 3a)x^2 + (ab + 2)x - b$

По условию задачи, коэффициент при $x^2$ равен 8, а коэффициент при $x$ равен -2. На основании этого составим систему уравнений:
$ \begin{cases} b - 3a = 8 \\ ab + 2 = -2 \end{cases} $

Упростим второе уравнение системы:
$ \begin{cases} b - 3a = 8 \\ ab = -4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:
$b = 3a + 8$

Подставим полученное выражение для $b$ во второе уравнение:
$a(3a + 8) = -4$
$3a^2 + 8a + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Найдем дискриминант $D$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$
Корни уравнения:
$a_1 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 4}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
$a_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 4}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $b$ для каждого из найденных значений $a$, используя формулу $b = 3a + 8$:
1. Если $a = -2$, то $b = 3(-2) + 8 = -6 + 8 = 2$.
2. Если $a = -\frac{2}{3}$, то $b = 3(-\frac{2}{3}) + 8 = -2 + 8 = 6$.

Оба набора значений удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: $a = -2, b = 2$ или $a = -\frac{2}{3}, b = 6$.