Номер 498, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 498, страница 146.

Условие.

498. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ 2x - y = 5 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$ y = 2x - 5 $
Так как $y \neq 0$, то $2x - 5 \neq 0$, откуда $x \neq 2.5$.

Подставим выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{2x - 5} = \frac{1}{6} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(2x-5)$:
$ \frac{2x - 5 + x}{x(2x - 5)} = \frac{1}{6} $
$ \frac{3x - 5}{2x^2 - 5x} = \frac{1}{6} $

По свойству пропорции (при условии $2x^2 - 5x \neq 0$):
$ 6(3x - 5) = 1 \cdot (2x^2 - 5x) $
$ 18x - 30 = 2x^2 - 5x $
$ 2x^2 - 5x - 18x + 30 = 0 $
$ 2x^2 - 23x + 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 - 240 = 289 $
$ \sqrt{D} = 17 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-(-23) + 17}{2 \cdot 2} = \frac{23 + 17}{4} = \frac{40}{4} = 10 $
$ x_2 = \frac{-(-23) - 17}{2 \cdot 2} = \frac{23 - 17}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $
Оба корня удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $x \neq 2.5$.

Найдем соответствующие значения $y$:
1) При $x_1 = 10$:
$ y_1 = 2(10) - 5 = 20 - 5 = 15 $
Получили пару $(10; 15)$.
2) При $x_2 = \frac{3}{2}$:
$ y_2 = 2(\frac{3}{2}) - 5 = 3 - 5 = -2 $
Получили пару $(\frac{3}{2}; -2)$.

Ответ: $(10; 15)$, $(\frac{3}{2}; -2)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ x + 2y = 14 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$ x = 14 - 2y $
Так как $x \neq 0$, то $14 - 2y \neq 0$, откуда $y \neq 7$.

Подставим выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$ \frac{1}{14 - 2y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(14-2y)$:
$ \frac{y - (14 - 2y)}{y(14 - 2y)} = \frac{1}{20} $
$ \frac{y - 14 + 2y}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20} $
$ \frac{3y - 14}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20} $

По свойству пропорции (при условии $14y - 2y^2 \neq 0$):
$ 20(3y - 14) = 1 \cdot (14y - 2y^2) $
$ 60y - 280 = 14y - 2y^2 $
$ 2y^2 + 60y - 14y - 280 = 0 $
$ 2y^2 + 46y - 280 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ y^2 + 23y - 140 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 529 + 560 = 1089 $
$ \sqrt{D} = 33 $
Найдем корни:
$ y_1 = \frac{-23 + 33}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 $
$ y_2 = \frac{-23 - 33}{2 \cdot 1} = \frac{-56}{2} = -28 $
Оба корня удовлетворяют условиям $y \neq 0$ и $y \neq 7$.

Найдем соответствующие значения $x$:
1) При $y_1 = 5$:
$ x_1 = 14 - 2(5) = 14 - 10 = 4 $
Получили пару $(4; 5)$.
2) При $y_2 = -28$:
$ x_2 = 14 - 2(-28) = 14 + 56 = 70 $
Получили пару $(70; -28)$.

Ответ: $(4; 5)$, $(70; -28)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 14 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12} \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Преобразуем второе уравнение. Переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12} $

Из первого уравнения $x + y = 14$ выразим $x^2 + y^2$. Для этого возведем обе части в квадрат:
$ (x + y)^2 = 14^2 $
$ x^2 + 2xy + y^2 = 196 $
$ x^2 + y^2 = 196 - 2xy $

Подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:
$ \frac{196 - 2xy}{xy} = \frac{25}{12} $
Сделаем замену $u = xy$:
$ \frac{196 - 2u}{u} = \frac{25}{12} $
$ 12(196 - 2u) = 25u $
$ 2352 - 24u = 25u $
$ 49u = 2352 $
$ u = \frac{2352}{49} = 48 $
Итак, $xy = 48$.

Теперь система приняла вид:
$ \begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases} $
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 14t + 48 = 0$.
Найдем корни этого уравнения (например, по теореме Виета): сумма корней равна 14, произведение равно 48. Это числа 6 и 8.
$ t_1 = 6, t_2 = 8 $.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(6; 8)$ и $(8; 6)$.

Ответ: $(6; 8)$, $(8; 6)$.

г) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Преобразуем второе уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} $
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Подставим в числитель значение $x - y = 2$ из первого уравнения:
$ \frac{2(x + y)}{xy} = \frac{5}{6} $

По свойству пропорции:
$ 6 \cdot 2(x + y) = 5xy $
$ 12(x + y) = 5xy $
Теперь у нас есть новая система:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 12(x + y) = 5xy \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 2$. Подставим это во второе уравнение:
$ 12((y + 2) + y) = 5(y + 2)y $
$ 12(2y + 2) = 5(y^2 + 2y) $
$ 24y + 24 = 5y^2 + 10y $
$ 5y^2 + 10y - 24y - 24 = 0 $
$ 5y^2 - 14y - 24 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 196 + 480 = 676 $
$ \sqrt{D} = 26 $
Найдем корни:
$ y_1 = \frac{-(-14) + 26}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 26}{10} = \frac{40}{10} = 4 $
$ y_2 = \frac{-(-14) - 26}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 26}{10} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} $

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 2$:
1) При $y_1 = 4$:
$ x_1 = 4 + 2 = 6 $
Получили пару $(6; 4)$.
2) При $y_2 = -\frac{6}{5}$:
$ x_2 = -\frac{6}{5} + 2 = -\frac{6}{5} + \frac{10}{5} = \frac{4}{5} $
Получили пару $(\frac{4}{5}; -\frac{6}{5})$.

Ответ: $(6; 4)$, $(\frac{4}{5}; -\frac{6}{5})$.