Номер 493, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 493, страница 145.

Условие.

493. Найдите все решения системы уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 4 \\ (x - 1)(y + 1) = 2xy + 3 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y + 4$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$((y + 4) - 1)(y + 1) = 2(y + 4)y + 3$

Упростим и решим полученное уравнение:
$(y + 3)(y + 1) = 2y(y + 4) + 3$
$y^2 + y + 3y + 3 = 2y^2 + 8y + 3$
$y^2 + 4y + 3 = 2y^2 + 8y + 3$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$2y^2 - y^2 + 8y - 4y + 3 - 3 = 0$
$y^2 + 4y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:
$y(y + 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня:
$y_1 = 0$
$y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 4$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 4 = 4$.
Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 4 = 0$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4, 0), (0, -4)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} y - x = 1 \\ (2y + 1)(x - 1) = xy + 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = x + 1$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(2(x + 1) + 1)(x - 1) = x(x + 1) + 1$

Упростим и решим полученное уравнение:
$(2x + 2 + 1)(x - 1) = x^2 + x + 1$
$(2x + 3)(x - 1) = x^2 + x + 1$
$2x^2 - 2x + 3x - 3 = x^2 + x + 1$
$2x^2 + x - 3 = x^2 + x + 1$

Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x^2 + x - x - 3 - 1 = 0$
$x^2 - 4 = 0$

Это уравнение можно разложить на множители как разность квадратов:
$(x - 2)(x + 2) = 0$

Корни уравнения:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$

Найдем соответствующие значения $y$ из $y = x + 1$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 + 1 = 3$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$.

Ответ: $(2, 3), (-2, -1)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ (x + 1)(y + 4) = 2xy - 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 2x - 5$

Подставим это во второе уравнение:
$(x + 1)((2x - 5) + 4) = 2x(2x - 5) - 1$

Упростим и решим:
$(x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 10x - 1$
$2x^2 - x + 2x - 1 = 4x^2 - 10x - 1$
$2x^2 + x - 1 = 4x^2 - 10x - 1$

Перенесем все члены в правую часть:
$4x^2 - 2x^2 - 10x - x - 1 + 1 = 0$
$2x^2 - 11x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(2x - 11) = 0$

Корни уравнения:
$x_1 = 0$
$2x_2 - 11 = 0 \implies x_2 = \frac{11}{2}$

Найдем соответствующие значения $y$ из $y = 2x - 5$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2(0) - 5 = -5$.
Если $x_2 = \frac{11}{2}$, то $y_2 = 2 \cdot \frac{11}{2} - 5 = 11 - 5 = 6$.

Ответ: $(0, -5), (\frac{11}{2}, 6)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 1 \\ (x - 1)(y + 5) = y^2 - 12 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 1 - y$

Подставим это во второе уравнение:
$((1 - y) - 1)(y + 5) = y^2 - 12$

Упростим и решим:
$(-y)(y + 5) = y^2 - 12$
$-y^2 - 5y = y^2 - 12$

Перенесем все члены в одну сторону:
$y^2 + y^2 + 5y - 12 = 0$
$2y^2 + 5y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 11}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 11}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = 1 - y$:
Если $y_1 = \frac{3}{2}$, то $x_1 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}), (5, -4)$.