Номер 487, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 487, страница 144.

Условие.

487. Найдите целые решения уравнения:

а) x² – y² = 5;

б) x² – y² = 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^2 - y^2 = 5$

Для нахождения целых решений уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к левой части уравнения:

$(x - y)(x + y) = 5$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то их разность $(x - y)$ и их сумма $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 5. Следовательно, нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 5. Такими парами являются:

• $1$ и $5$
• $5$ и $1$
• $-1$ и $-5$
• $-5$ и $-1$

Рассмотрим каждый случай в виде системы двух линейных уравнений:

1. $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 1 + 5$, что дает $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставим значение $x$ во второе уравнение: $3 + y = 5$, откуда $y = 2$. Получаем решение $(3, 2)$.

2. $\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = 5 + 1$, что дает $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставим $x$ во второе уравнение: $3 + y = 1$, откуда $y = -2$. Получаем решение $(3, -2)$.

3. $\begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -5 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = -1 + (-5)$, что дает $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставим $x$ во второе уравнение: $-3 + y = -5$, откуда $y = -2$. Получаем решение $(-3, -2)$.

4. $\begin{cases} x - y = -5 \\ x + y = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = -5 + (-1)$, что дает $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставим $x$ во второе уравнение: $-3 + y = -1$, откуда $y = 2$. Получаем решение $(-3, 2)$.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -2)$, $(-3, -2)$, $(-3, 2)$.

б) $x^2 - y^2 = 8$

Так же, как и в предыдущем пункте, разложим левую часть на множители:

$(x - y)(x + y) = 8$

Множители $(x - y)$ и $(x + y)$ — это целые числа, которые являются делителями числа 8. Делители числа 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Заметим, что сумма этих множителей $(x-y) + (x+y) = 2x$ — четное число. Разность множителей $(x+y) - (x-y) = 2y$ — также четное число. Сумма или разность двух целых чисел является четной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Таким образом, нам нужно выбрать из делителей числа 8 такие пары, в которых оба числа имеют одинаковую четность. Рассмотрим пары множителей:

• $(\pm 1, \pm 8)$ — числа разной четности, не подходят.
• $(\pm 2, \pm 4)$ — числа одинаковой четности (оба четные), подходят.

Следовательно, возможны следующие системы уравнений:

1. $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставляя в первое уравнение, имеем $3 - y = 2$, откуда $y = 1$. Решение: $(3, 1)$.

2. $\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставляя, имеем $3 - y = 4$, откуда $y = -1$. Решение: $(3, -1)$.

3. $\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = -4 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставляя, имеем $-3 - y = -2$, откуда $y = -1$. Решение: $(-3, -1)$.

4. $\begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = -2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставляя, имеем $-3 - y = -4$, откуда $y = 1$. Решение: $(-3, 1)$.

Ответ: $(3, 1)$, $(3, -1)$, $(-3, -1)$, $(-3, 1)$.