Номер 488, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 488, страница 144.

Условие.

488. Решите графически систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для решения системы графически построим графики обоих уравнений в одной системе координат.

Первое уравнение: $y + x + x^2 = 0$, что эквивалентно $y = -x^2 - x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_v = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot (-1)) = -0.5$; $y_v = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25$. Вершина находится в точке $(-0.5, 0.25)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$, т.е. $-x(x+1)=0$, откуда $x=0$ и $x=-1$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.

Второе уравнение: $x - y = 10$, что эквивалентно $y = x - 10$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, -10)$ и $(10, 0)$.

Построив графики параболы и прямой, находим их точки пересечения. Решив систему уравнений, можно найти точные координаты. Подставим $y$ из второго уравнения в первое: $(x-10) + x + x^2 = 0$, что приводит к квадратному уравнению $x^2 + 2x - 10 = 0$. Его корни: $x = -1 \pm \sqrt{11}$. Соответствующие значения $y$ равны $y = x - 10 = -11 \pm \sqrt{11}$.

Ответ: $(-1 + \sqrt{11}, -11 + \sqrt{11}), (-1 - \sqrt{11}, -11 - \sqrt{11})$.

б)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $(x-2)^2 + y^2 = 9$. Это окружность с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение: $y = x^2 - 4x + 4$. Его можно записать как $y = (x-2)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, что совпадает с центром окружности.

Построив графики, мы видим, что парабола начинается в центре окружности и идет вверх, пересекая окружность в двух точках, симметричных относительно прямой $x=2$. Найдем координаты этих точек, подставив выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $(x-2)^2 + ((x-2)^2)^2 = 9$. Пусть $t = (x-2)^2$, тогда $t + t^2 = 9$ или $t^2+t-9=0$. Так как $t = y \ge 0$, решением является $t = \frac{-1+\sqrt{37}}{2}$. Значит, $y = \frac{-1+\sqrt{37}}{2}$. Тогда $(x-2)^2 = \frac{-1+\sqrt{37}}{2}$, откуда $x-2 = \pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{2}}$, и $x=2 \pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{2}}$.

Ответ: $(2 + \sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{2}}, \frac{\sqrt{37}-1}{2}), (2 - \sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{2}}, \frac{\sqrt{37}-1}{2})$.

в)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение: $y = 2x^2 - 14$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, -14)$.

Построив графики, мы увидим, что парабола и окружность пересекаются в четырех точках, симметричных относительно оси Oy. Для нахождения точных координат подставим $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (2x^2-14)^2 = 25$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим биквадратное уравнение $4x^4 - 55x^2 + 171 = 0$. Решая его относительно $x^2$, находим $x^2=9$ и $x^2=19/4$.

Если $x^2=9$, то $x=\pm 3$, а $y=2(9)-14 = 4$. Получаем точки $(3, 4)$ и $(-3, 4)$.

Если $x^2=19/4$, то $x=\pm \frac{\sqrt{19}}{2}$, а $y=2(19/4)-14 = -9/2$. Получаем точки $(\frac{\sqrt{19}}{2}, -\frac{9}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{19}}{2}, -\frac{9}{2})$.

Ответ: $(3, 4), (-3, 4), (\frac{\sqrt{19}}{2}, -4.5), (-\frac{\sqrt{19}}{2}, -4.5)$.

г)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 10$. Это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Второе уравнение: $xy = 3$, или $y = 3/x$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Построив графики, находим четыре точки пересечения. Можно заметить, что точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$ лежат на обоих графиках: $1^2+3^2=10$, $1 \cdot 3 = 3$; $3^2+1^2=10$, $3 \cdot 1 = 3$. Аналогично для III четверти: точки $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$ также являются решениями.

Ответ: $(1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)$.

д)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $x + y = 8$, или $y = 8 - x$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 8)$ и $(8, 0)$.

Второе уравнение: $(x+1)^2 + y^2 = 81$. Это окружность с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{81} = 9$.

Построив прямую и окружность, находим две точки пересечения. Подстановка $y=8-x$ во второе уравнение дает $(x+1)^2+(8-x)^2=81$, что упрощается до $x^2-7x-8=0$. Корни этого уравнения $x=8$ и $x=-1$.

Если $x=8$, то $y=8-8=0$. Точка $(8, 0)$.

Если $x=-1$, то $y=8-(-1)=9$. Точка $(-1, 9)$.

Ответ: $(8, 0), (-1, 9)$.

е)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $y = -x^2 + 4$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 4)$, ветвями, направленными вниз, и пересекающая ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Второе уравнение: $y = |x|$. График этой функции состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. График имеет форму "галочки" с вершиной в точке $(0, 0)$.

Построив графики, видим две точки пересечения, симметричные относительно оси Oy.

Для $x \ge 0$ решаем $x = -x^2+4$, или $x^2+x-4=0$. Положительный корень $x = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$. Тогда $y=x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.

Для $x < 0$ решаем $-x = -x^2+4$, или $x^2-x-4=0$. Отрицательный корень $x = \frac{1-\sqrt{17}}{2}$. Тогда $y=-x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{17}-1}{2}, \frac{\sqrt{17}-1}{2}), (\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \frac{\sqrt{17}-1}{2})$.