Номер 489, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 489, страница 144.

Условие.

489. Изобразив схематически графики уравнений, определите, имеет ли решения система уравнений и сколько:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases} x^2 - y + 11 = 0 \\y + x^2 = 4 \end{cases}$

Для определения числа решений изобразим схематически графики каждого уравнения. Для этого выразим $y$ в явном виде.

1. Первое уравнение: $x^2 - y + 11 = 0 \Rightarrow y = x^2 + 11$.Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 11)$. Минимальное значение функции $y$ равно 11, то есть все точки графика лежат на высоте $y \ge 11$.

2. Второе уравнение: $y + x^2 = 4 \Rightarrow y = -x^2 + 4$.Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Максимальное значение функции $y$ равно 4, то есть все точки графика лежат на высоте $y \le 4$.

Схематически изобразив графики, мы видим, что первая парабола полностью расположена выше второй. Множество значений для первого уравнения — это $[11, +\infty)$, а для второго — $(-\infty, 4]$. Эти множества не пересекаются. Следовательно, графики не имеют общих точек, и система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases} (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1 \\(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 \end{cases}$

Каждое уравнение системы представляет собой уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $r$ — радиус.

1. Первое уравнение $(x - (-3))^2 + (y - (-4))^2 = 1^2$ — это окружность с центром в точке $C_1(-3, -4)$ и радиусом $r_1 = 1$.

2. Второе уравнение $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$ — это окружность с центром в точке $C_2(2, 1)$ и радиусом $r_2 = 2$.

Решениями системы являются точки пересечения этих двух окружностей. Чтобы определить их количество, найдем расстояние $d$ между центрами $C_1$ и $C_2$ и сравним его с суммой их радиусов.

Расстояние между центрами вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(5)^2 + (5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$.

Сравним расстояние между центрами $d$ и сумму радиусов $r_1 + r_2$.$d = 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.414 = 7.07$.Так как $7.07 > 3$, расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > r_1 + r_2$). Это означает, что окружности расположены вне друг друга и не пересекаются.

Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases} y = |x| \\\frac{1}{2}x^3 - y = 0\end{cases}$

Изобразим схематически графики каждого уравнения.

1. Первое уравнение $y = |x|$ — это график модуля. Он состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

2. Второе уравнение $\frac{1}{2}x^3 - y = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x^3$. Это график кубической функции (кубическая парабола), проходящий через начало координат и симметричный относительно него.

Решения системы — это точки пересечения этих двух графиков. Найдем их.

Очевидно, что точка $(0, 0)$ является решением, так как при подстановке $x=0, y=0$ оба уравнения обращаются в верные равенства.

Рассмотрим случай, когда $x > 0$. Система принимает вид:$\begin{cases} y = x \\y = \frac{1}{2}x^3 \end{cases}$Приравниваем правые части: $x = \frac{1}{2}x^3$.Так как $x > 0$, можем разделить обе части на $x$: $1 = \frac{1}{2}x^2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$.Соответствующее значение $y = \sqrt{2}$. Таким образом, вторая точка пересечения — $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Рассмотрим случай, когда $x < 0$. Система принимает вид:$\begin{cases} y = -x \\y = \frac{1}{2}x^3 \end{cases}$Приравниваем правые части: $-x = \frac{1}{2}x^3$.$\frac{1}{2}x^3 + x = 0 \Rightarrow x(\frac{1}{2}x^2 + 1) = 0$.Это уравнение имеет единственный действительный корень $x=0$, который не удовлетворяет условию $x < 0$. Выражение в скобках $\frac{1}{2}x^2 + 1$ всегда положительно. Таким образом, при $x < 0$ пересечений нет. Это также видно из графиков: для $x < 0$ график $y=-x$ лежит во второй координатной четверти ($y>0$), а график $y=\frac{1}{2}x^3$ — в третьей ($y<0$).

Итак, графики имеют две точки пересечения: $(0, 0)$ и $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.