Номер 482, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 482, страница 144.

Условие.

482. Докажите, что уравнение имеет единственное решение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 + 2x + 1 = 0$. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Выражение $x^2 + 2x + 1$ представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Теперь перепишем исходное уравнение, используя это преобразование:
$(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 0$
$(x+1)^2 + y^2 = 0$
В левой части уравнения находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений может быть равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x+1 = 0$, откуда $x = -1$.
Из второго уравнения следует, что $y = 0$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(-1, 0)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Единственное решение уравнения - это пара чисел $x = -1, y = 0$.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 0$. Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Для этого сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 5 = 0$
Чтобы выделить полный квадрат для $x$, нам нужно выражение $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Чтобы выделить полный квадрат для $y$, нам нужно выражение $y^2 + 4y + 4 = (y+2)^2$.
Представим число 5 в исходном уравнении как сумму $1+4$ и перегруппируем слагаемые:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$
Теперь заменим выражения в скобках на квадраты:
$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$
Мы снова получили уравнение, в левой части которого стоит сумма двух квадратов. Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$, их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (y+2)^2 = 0 \end{cases}$
Решая эту систему, находим:
$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$y+2 = 0 \Rightarrow y = -2$
Таким образом, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(1, -2)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Единственное решение уравнения - это пара чисел $x = 1, y = -2$.