Номер 475, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 475, страница 143.
№475 (с. 143)
Условие. №475 (с. 143)
скриншот условия

475. Решите систему уравнений:

Решение 1. №475 (с. 143)




Решение 2. №475 (с. 143)


Решение 3. №475 (с. 143)

Решение 4. №475 (с. 143)

Решение 5. №475 (с. 143)

Решение 7. №475 (с. 143)

Решение 8. №475 (с. 143)
а)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 - 4xy + 3y = 0. \end{cases}$
Первое уравнение $x^2 + 3xy - 10y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Решим его относительно $x$, рассматривая как квадратное уравнение. Если $y=0$, то из первого уравнения следует, что $x=0$. Пара $(0, 0)$ является решением второго уравнения ($0^2 - 4 \cdot 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$), значит, $(0, 0)$ — одно из решений системы.
Если $y \ne 0$, разделим первое уравнение на $y^2$:
$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) - 10 = 0$.
Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда получим квадратное уравнение $t^2 + 3t - 10 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$.
Возвращаясь к замене, получаем два случая:
1) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.
2) $\frac{x}{y} = -5 \implies x = -5y$.
Теперь подставим эти выражения во второе уравнение системы $x^2 - 4xy + 3y = 0$.
Случай 1: $x = 2y$.
$(2y)^2 - 4(2y)y + 3y = 0$
$4y^2 - 8y^2 + 3y = 0$
$-4y^2 + 3y = 0$
$y(-4y + 3) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ или $-4y + 3 = 0 \implies y_2 = \frac{3}{4}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$, которое мы уже нашли.
Если $y_2 = \frac{3}{4}$, то $x_2 = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$. Получаем решение $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$.
Случай 2: $x = -5y$.
Подставим $x = -5y$ во второе уравнение системы:
$(-5y)^2 - 4(-5y)y + 3y = 0$
$25y^2 + 20y^2 + 3y = 0$
$45y^2 + 3y = 0$
$3y(15y + 1) = 0$
Отсюда $y_3 = 0$ или $15y + 1 = 0 \implies y_4 = -\frac{1}{15}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_3 = 0$, то $x_3 = -5 \cdot 0 = 0$. Получаем уже найденное решение $(0, 0)$.
Если $y_4 = -\frac{1}{15}$, то $x_4 = -5 \cdot (-\frac{1}{15}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$. Получаем решение $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.
Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$, $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.
б)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0. \end{cases}$
Первое уравнение $x^2 + xy - 6y^2 = 0$ является однородным. Решим его относительно $x$.
Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно $x$:
Дискриминант: $D = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2) = y^2 + 24y^2 = 25y^2 = (5y)^2$.
Корни уравнения: $x = \frac{-y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{-y \pm 5y}{2}$.
Получаем два случая:
1) $x_1 = \frac{-y + 5y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.
2) $x_2 = \frac{-y - 5y}{2} = \frac{-6y}{2} = -3y$.
Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя найденные соотношения во второе уравнение системы $x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0$.
Случай 1: $x = 2y$.
$(2y)^2 + 3(2y)y + 2y - 6 = 0$
$4y^2 + 6y^2 + 2y - 6 = 0$
$10y^2 + 2y - 6 = 0$
Разделим уравнение на 2: $5y^2 + y - 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $y$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 1 + 60 = 61$.
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$.
Получаем два значения для $y$: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}$.
Найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x=2y$:
Если $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}$, то $x_1 = 2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 + \sqrt{61}}{5}$.
Если $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}$, то $x_2 = 2 \cdot \frac{-1 - \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 - \sqrt{61}}{5}$.
Получили две пары решений: $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$ и $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.
Случай 2: $x = -3y$.
$(-3y)^2 + 3(-3y)y + 2y - 6 = 0$
$9y^2 - 9y^2 + 2y - 6 = 0$
$2y - 6 = 0$
$2y = 6 \implies y_3 = 3$.
Найдем соответствующее значение $x$:
$x_3 = -3y_3 = -3 \cdot 3 = -9$.
Получили третью пару решений: $(-9, 3)$.
Ответ: $(-9, 3)$, $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$, $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 475 расположенного на странице 143 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №475 (с. 143), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.