Номер 475, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными - номер 475, страница 143.

Условие.

475. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 - 4xy + 3y = 0. \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 + 3xy - 10y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Решим его относительно $x$, рассматривая как квадратное уравнение. Если $y=0$, то из первого уравнения следует, что $x=0$. Пара $(0, 0)$ является решением второго уравнения ($0^2 - 4 \cdot 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$), значит, $(0, 0)$ — одно из решений системы.

Если $y \ne 0$, разделим первое уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) - 10 = 0$.

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда получим квадратное уравнение $t^2 + 3t - 10 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$.

Возвращаясь к замене, получаем два случая:

1) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.

2) $\frac{x}{y} = -5 \implies x = -5y$.

Теперь подставим эти выражения во второе уравнение системы $x^2 - 4xy + 3y = 0$.

Случай 1: $x = 2y$.

$(2y)^2 - 4(2y)y + 3y = 0$

$4y^2 - 8y^2 + 3y = 0$

$-4y^2 + 3y = 0$

$y(-4y + 3) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $-4y + 3 = 0 \implies y_2 = \frac{3}{4}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$, которое мы уже нашли.

Если $y_2 = \frac{3}{4}$, то $x_2 = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$. Получаем решение $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$.

Случай 2: $x = -5y$.

Подставим $x = -5y$ во второе уравнение системы:

$(-5y)^2 - 4(-5y)y + 3y = 0$

$25y^2 + 20y^2 + 3y = 0$

$45y^2 + 3y = 0$

$3y(15y + 1) = 0$

Отсюда $y_3 = 0$ или $15y + 1 = 0 \implies y_4 = -\frac{1}{15}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = 0$, то $x_3 = -5 \cdot 0 = 0$. Получаем уже найденное решение $(0, 0)$.

Если $y_4 = -\frac{1}{15}$, то $x_4 = -5 \cdot (-\frac{1}{15}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$. Получаем решение $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$, $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0. \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 + xy - 6y^2 = 0$ является однородным. Решим его относительно $x$.

Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно $x$:

Дискриминант: $D = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2) = y^2 + 24y^2 = 25y^2 = (5y)^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{-y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{-y \pm 5y}{2}$.

Получаем два случая:

1) $x_1 = \frac{-y + 5y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.

2) $x_2 = \frac{-y - 5y}{2} = \frac{-6y}{2} = -3y$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя найденные соотношения во второе уравнение системы $x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0$.

Случай 1: $x = 2y$.

$(2y)^2 + 3(2y)y + 2y - 6 = 0$

$4y^2 + 6y^2 + 2y - 6 = 0$

$10y^2 + 2y - 6 = 0$

Разделим уравнение на 2: $5y^2 + y - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 1 + 60 = 61$.

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$.

Получаем два значения для $y$: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}$.

Найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x=2y$:

Если $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}$, то $x_1 = 2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 + \sqrt{61}}{5}$.

Если $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}$, то $x_2 = 2 \cdot \frac{-1 - \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 - \sqrt{61}}{5}$.

Получили две пары решений: $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$ и $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.

Случай 2: $x = -3y$.

$(-3y)^2 + 3(-3y)y + 2y - 6 = 0$

$9y^2 - 9y^2 + 2y - 6 = 0$

$2y - 6 = 0$

$2y = 6 \implies y_3 = 3$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x_3 = -3y_3 = -3 \cdot 3 = -9$.

Получили третью пару решений: $(-9, 3)$.

Ответ: $(-9, 3)$, $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$, $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.