Страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

472. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (x - 2y)(x + 3y) = 0, \\ x^2 - y^2 = 12. \end{cases} $
Первое уравнение системы распадается на два случая, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x - 2y = 0$
Отсюда $x = 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2y)^2 - y^2 = 12$
$4y^2 - y^2 = 12$
$3y^2 = 12$
$y^2 = 4$
$y_1 = 2$ или $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.
Получили две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Случай 2: $x + 3y = 0$
Отсюда $x = -3y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(-3y)^2 - y^2 = 12$
$9y^2 - y^2 = 12$
$8y^2 = 12$
$y^2 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
$y_3 = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ или $y_4 = -\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_3 = \frac{\sqrt{6}}{2}$, то $x_3 = -3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = -\frac{3\sqrt{6}}{2}$.
Если $y_4 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$, то $x_4 = -3 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.
Получили еще две пары решений: $(-\frac{3\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ и $(\frac{3\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(-\frac{3\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$, $(\frac{3\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2})$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 4xy + 3y^2 + 2x - 6y = 0, \\ x^2 - xy + y^2 = 7. \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, разложив его на множители. Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 4xy + 3y^2) + (2x - 6y) = 0$
Разложим на множители квадратичную часть $x^2 - 4xy + 3y^2$. Решив квадратное уравнение $t^2 - 4t + 3 = 0$ относительно $t=x/y$, найдем корни $t_1=1, t_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4xy + 3y^2 = (x-y)(x-3y)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $2$: $2x - 6y = 2(x-3y)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - y)(x - 3y) + 2(x - 3y) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 3y)$:
$(x - 3y)(x - y + 2) = 0$
Это уравнение распадается на два случая.

Случай 1: $x - 3y = 0$
Отсюда $x = 3y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(3y)^2 - (3y)y + y^2 = 7$
$9y^2 - 3y^2 + y^2 = 7$
$7y^2 = 7$
$y^2 = 1$
$y_1 = 1$ или $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.
Получили две пары решений: $(3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Случай 2: $x - y + 2 = 0$
Отсюда $x = y - 2$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(y - 2)^2 - (y - 2)y + y^2 = 7$
$(y^2 - 4y + 4) - (y^2 - 2y) + y^2 = 7$
$y^2 - 4y + 4 - y^2 + 2y + y^2 = 7$
$y^2 - 2y + 4 = 7$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $y_3 = 3$ и $y_4 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_3 = 3$, то $x_3 = 3 - 2 = 1$.
Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -1 - 2 = -3$.
Получили еще две пары решений: $(1, 3)$ и $(-3, -1)$.
Решение $(-3, -1)$ уже было получено в первом случае.

Объединяя все уникальные решения, получаем ответ.
Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -1)$, $(1, 3)$.

473. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy - 2y^2 - x + y = 0 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение системы. Заметим, что левую часть можно разложить на множители. Сгруппируем члены:

$ (x^2 + xy - 2y^2) - (x - y) = 0 $

Разложим на множители квадратичный трехчлен $x^2 + xy - 2y^2$, рассматривая его как квадратное уравнение относительно $x$. Корни этого уравнения $x=y$ и $x=-2y$. Следовательно, разложение имеет вид:

$x^2 + xy - 2y^2 = (x - y)(x + 2y)$

Подставим это в первое уравнение:

$ (x - y)(x + 2y) - (x - y) = 0 $

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$ (x - y)(x + 2y - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:

1. $x - y = 0 \implies x = y$

2. $x + 2y - 1 = 0 \implies x = 1 - 2y$

Рассмотрим каждый случай, подставляя выражение для $x$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 8$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем $x = y$ в уравнение $x^2 + y^2 = 8$:

$ y^2 + y^2 = 8 $

$ 2y^2 = 8 $

$ y^2 = 4 \implies y = \pm 2 $

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2$. Получаем решение $(2, 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2$. Получаем решение $(-2, -2)$.

Случай 2: $x = 1 - 2y$

Подставляем $x = 1 - 2y$ в уравнение $x^2 + y^2 = 8$:

$ (1 - 2y)^2 + y^2 = 8 $

$ 1 - 4y + 4y^2 + y^2 = 8 $

$ 5y^2 - 4y - 7 = 0 $

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 16 + 140 = 156 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39} $

Находим корни для $y$:

$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2\sqrt{39}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{5} $

Отсюда $y_3 = \frac{2 + \sqrt{39}}{5}$ и $y_4 = \frac{2 - \sqrt{39}}{5}$.

Находим соответствующие значения $x$:

Для $y_3 = \frac{2 + \sqrt{39}}{5}$, $x_3 = 1 - 2y_3 = 1 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right) = \frac{5 - 4 - 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}$.

Для $y_4 = \frac{2 - \sqrt{39}}{5}$, $x_4 = 1 - 2y_4 = 1 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{39}}{5}\right) = \frac{5 - 4 + 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $(\frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 + \sqrt{39}}{5})$ и $(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 - \sqrt{39}}{5})$.

Ответ: $(2, 2)$; $(-2, -2)$; $(\frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 + \sqrt{39}}{5})$; $(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 - \sqrt{39}}{5})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 6xy + 5y^2 - x + 5y = 0 \\ x^2 - 20y^2 = 5 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Сгруппируем его члены, чтобы разложить на множители:

$ (x^2 - 6xy + 5y^2) - (x - 5y) = 0 $

Квадратичный трехчлен $x^2 - 6xy + 5y^2$ можно разложить на множители. Его корни относительно $x$ равны $x=y$ и $x=5y$. Таким образом:

$x^2 - 6xy + 5y^2 = (x - y)(x - 5y)$

Подставим это в первое уравнение:

$ (x - y)(x - 5y) - (x - 5y) = 0 $

Вынесем общий множитель $(x - 5y)$ за скобки:

$ (x - 5y)(x - y - 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:

1. $x - 5y = 0 \implies x = 5y$

2. $x - y - 1 = 0 \implies x = y + 1$

Рассмотрим каждый случай, подставляя выражение для $x$ во второе уравнение системы $x^2 - 20y^2 = 5$.

Случай 1: $x = 5y$

Подставляем $x = 5y$ в уравнение $x^2 - 20y^2 = 5$:

$ (5y)^2 - 20y^2 = 5 $

$ 25y^2 - 20y^2 = 5 $

$ 5y^2 = 5 $

$ y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 5 \cdot 1 = 5$. Получаем решение $(5, 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 5 \cdot (-1) = -5$. Получаем решение $(-5, -1)$.

Случай 2: $x = y + 1$

Подставляем $x = y + 1$ в уравнение $x^2 - 20y^2 = 5$:

$ (y + 1)^2 - 20y^2 = 5 $

$ y^2 + 2y + 1 - 20y^2 = 5 $

$ -19y^2 + 2y - 4 = 0 $

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ 19y^2 - 2y + 4 = 0 $

Найдем дискриминант этого уравнения:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 4 = 4 - 304 = -300 $

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае система решений не имеет.

Ответ: $(5, 1)$; $(-5, -1)$.

474. Найдите все решения системы уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3xy + 14 = 0 \\ 3x^2 + 2xy - 24 = 0 \end{cases} $

Для решения этой системы используем метод сложения, чтобы исключить свободные члены. Умножим первое уравнение на 24, а второе на 14. Чтобы избежать больших чисел, можно заметить, что $24 = 2 \cdot 12$ и $14 = 2 \cdot 7$, но наименьшее общее кратное для 14 и 24 это 168. Умножим первое уравнение на $12$, а второе на $7$.

$168/14 = 12$, $168/24 = 7$. Умножим первое уравнение на 12, а второе на 7.

$ \begin{cases} 12(x^2 - 3xy + 14) = 0 \\ 7(3x^2 + 2xy - 24) = 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 12x^2 - 36xy + 168 = 0 \\ 21x^2 + 14xy - 168 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(12x^2 - 36xy + 168) + (21x^2 + 14xy - 168) = 0$

$33x^2 - 22xy = 0$

Вынесем общий множитель $11x$ за скобки:

$11x(3x - 2y) = 0$

Это уравнение дает два возможных случая:

1. $x = 0$

2. $3x - 2y = 0 \implies y = \frac{3}{2}x$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое исходное уравнение:

$0^2 - 3(0)y + 14 = 0 \implies 14 = 0$.

Это неверное равенство, следовательно, $x = 0$ не является решением системы.

Случай 2: $y = \frac{3}{2}x$.

Подставим это выражение для $y$ в первое исходное уравнение:

$x^2 - 3x(\frac{3}{2}x) + 14 = 0$

$x^2 - \frac{9}{2}x^2 + 14 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 - 9x^2 + 28 = 0$

$-7x^2 = -28$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = \frac{3}{2}x$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{3}{2}(2) = 3$. Получаем решение $(2, 3)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{3}{2}(-2) = -3$. Получаем решение $(-2, -3)$.

Проверим найденные решения, подставив их во второе исходное уравнение $3x^2 + 2xy - 24 = 0$.

Для $(2, 3)$: $3(2)^2 + 2(2)(3) - 24 = 3(4) + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$. Верно.

Для $(-2, -3)$: $3(-2)^2 + 2(-2)(-3) - 24 = 3(4) + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$. Верно.

Ответ: $(2, 3)$, $(-2, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 - 6y = xy \\ 3x^2 - 8y = 0,5xy \end{cases} $

Перепишем систему, перенеся все члены в левую часть:

$ \begin{cases} 2x^2 - xy - 6y = 0 \\ 3x^2 - 0,5xy - 8y = 0 \end{cases} $

Рассмотрим случай, когда $x = 0$. Подставив $x=0$ в систему, получим:

$ \begin{cases} -6y = 0 \\ -8y = 0 \end{cases} $

Из обоих уравнений следует, что $y = 0$. Таким образом, $(0, 0)$ является одним из решений системы.

Теперь рассмотрим случай, когда $x \neq 0$. Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента и сделать коэффициенты при $xy$ одинаковыми:

$2(3x^2 - 0,5xy - 8y) = 0 \implies 6x^2 - xy - 16y = 0$.

Теперь у нас есть система:

$ \begin{cases} 2x^2 - xy - 6y = 0 \\ 6x^2 - xy - 16y = 0 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$(6x^2 - xy - 16y) - (2x^2 - xy - 6y) = 0$

$4x^2 - 10y = 0$

$10y = 4x^2$

$y = \frac{4}{10}x^2 = \frac{2}{5}x^2$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое исходное уравнение $2x^2 - 6y = xy$:

$2x^2 - 6(\frac{2}{5}x^2) = x(\frac{2}{5}x^2)$

$2x^2 - \frac{12}{5}x^2 = \frac{2}{5}x^3$

Умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

$10x^2 - 12x^2 = 2x^3$

$-2x^2 = 2x^3$

$2x^3 + 2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:

$2x^2(x + 1) = 0$

Это уравнение дает два возможных решения для $x$: $x=0$ или $x+1=0$.

Случай $x=0$ мы уже рассмотрели, он дает решение $(0, 0)$.

Если $x+1=0$, то $x = -1$.

Найдем соответствующее значение $y$ при $x=-1$, используя формулу $y = \frac{2}{5}x^2$:

$y = \frac{2}{5}(-1)^2 = \frac{2}{5}$.

Таким образом, мы получили еще одно решение: $(-1, \frac{2}{5})$.

Проверим это решение, подставив его во второе исходное уравнение $3x^2 - 8y = 0,5xy$.

Левая часть: $3(-1)^2 - 8(\frac{2}{5}) = 3 - \frac{16}{5} = \frac{15 - 16}{5} = -\frac{1}{5}$.

Правая часть: $0,5(-1)(\frac{2}{5}) = \frac{1}{2}(-1)(\frac{2}{5}) = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Левая и правая части равны, значит, решение верное.

Ответ: $(0, 0)$, $(-1, \frac{2}{5})$.

475. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 - 4xy + 3y = 0. \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 + 3xy - 10y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Решим его относительно $x$, рассматривая как квадратное уравнение. Если $y=0$, то из первого уравнения следует, что $x=0$. Пара $(0, 0)$ является решением второго уравнения ($0^2 - 4 \cdot 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$), значит, $(0, 0)$ — одно из решений системы.

Если $y \ne 0$, разделим первое уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) - 10 = 0$.

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда получим квадратное уравнение $t^2 + 3t - 10 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$.

Возвращаясь к замене, получаем два случая:

1) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.

2) $\frac{x}{y} = -5 \implies x = -5y$.

Теперь подставим эти выражения во второе уравнение системы $x^2 - 4xy + 3y = 0$.

Случай 1: $x = 2y$.

$(2y)^2 - 4(2y)y + 3y = 0$

$4y^2 - 8y^2 + 3y = 0$

$-4y^2 + 3y = 0$

$y(-4y + 3) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $-4y + 3 = 0 \implies y_2 = \frac{3}{4}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$, которое мы уже нашли.

Если $y_2 = \frac{3}{4}$, то $x_2 = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$. Получаем решение $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$.

Случай 2: $x = -5y$.

Подставим $x = -5y$ во второе уравнение системы:

$(-5y)^2 - 4(-5y)y + 3y = 0$

$25y^2 + 20y^2 + 3y = 0$

$45y^2 + 3y = 0$

$3y(15y + 1) = 0$

Отсюда $y_3 = 0$ или $15y + 1 = 0 \implies y_4 = -\frac{1}{15}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = 0$, то $x_3 = -5 \cdot 0 = 0$. Получаем уже найденное решение $(0, 0)$.

Если $y_4 = -\frac{1}{15}$, то $x_4 = -5 \cdot (-\frac{1}{15}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$. Получаем решение $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$, $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0. \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 + xy - 6y^2 = 0$ является однородным. Решим его относительно $x$.

Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно $x$:

Дискриминант: $D = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2) = y^2 + 24y^2 = 25y^2 = (5y)^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{-y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{-y \pm 5y}{2}$.

Получаем два случая:

1) $x_1 = \frac{-y + 5y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.

2) $x_2 = \frac{-y - 5y}{2} = \frac{-6y}{2} = -3y$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя найденные соотношения во второе уравнение системы $x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0$.

Случай 1: $x = 2y$.

$(2y)^2 + 3(2y)y + 2y - 6 = 0$

$4y^2 + 6y^2 + 2y - 6 = 0$

$10y^2 + 2y - 6 = 0$

Разделим уравнение на 2: $5y^2 + y - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 1 + 60 = 61$.

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$.

Получаем два значения для $y$: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}$.

Найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x=2y$:

Если $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}$, то $x_1 = 2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 + \sqrt{61}}{5}$.

Если $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}$, то $x_2 = 2 \cdot \frac{-1 - \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 - \sqrt{61}}{5}$.

Получили две пары решений: $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$ и $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.

Случай 2: $x = -3y$.

$(-3y)^2 + 3(-3y)y + 2y - 6 = 0$

$9y^2 - 9y^2 + 2y - 6 = 0$

$2y - 6 = 0$

$2y = 6 \implies y_3 = 3$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x_3 = -3y_3 = -3 \cdot 3 = -9$.

Получили третью пару решений: $(-9, 3)$.

Ответ: $(-9, 3)$, $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$, $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.

476. Найдите все решения системы уравнений:

а) $$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12} \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases} $$

Обозначим в первом уравнении $\frac{x}{y} = t$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$. Первое уравнение системы примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}$

Умножим обе части уравнения на $12t$ (при условии, что $t \neq 0$, что следует из условия $x, y \neq 0$):

$12t^2 + 12 = 25t$

$12t^2 - 25t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$

Отсюда $x = \frac{3}{4}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{3}{4}y)^2 - y^2 = 7$

$\frac{9}{16}y^2 - y^2 = 7$

$\frac{9y^2 - 16y^2}{16} = 7$

$-\frac{7}{16}y^2 = 7$

$y^2 = -16$

Это уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

Отсюда $x = \frac{4}{3}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{4}{3}y)^2 - y^2 = 7$

$\frac{16}{9}y^2 - y^2 = 7$

$\frac{16y^2 - 9y^2}{9} = 7$

$\frac{7}{9}y^2 = 7$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Получаем решение $(4, 3)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$. Получаем решение $(-4, -3)$.

Ответ: $(4, 3), (-4, -3)$.

б) $$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2,1 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases} $$

Заметим, что $2,1 = \frac{21}{10}$. Как и в предыдущем пункте, введем замену $\frac{x}{y} = t$. Тогда первое уравнение примет вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{21}{10}$

Умножим обе части уравнения на $10t$ (при $t \neq 0$):

$10t^2 - 10 = 21t$

$10t^2 - 21t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 441 + 400 = 841 = 29^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{21 - 29}{2 \cdot 10} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$

$t_2 = \frac{21 + 29}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = -\frac{2}{5}$

Отсюда $x = -\frac{2}{5}y$. Подставим во второе уравнение системы:

$(-\frac{2}{5}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{4}{25}y^2 + y^2 = 29$

$\frac{4y^2 + 25y^2}{25} = 29$

$\frac{29}{25}y^2 = 29$

$y^2 = 25$

Отсюда $y_1 = 5$ и $y_2 = -5$.

Если $y_1 = 5$, то $x_1 = -\frac{2}{5} \cdot 5 = -2$. Получаем решение $(-2, 5)$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -\frac{2}{5} \cdot (-5) = 2$. Получаем решение $(2, -5)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$

Отсюда $x = \frac{5}{2}y$. Подставим во второе уравнение системы:

$(\frac{5}{2}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{25}{4}y^2 + y^2 = 29$

$\frac{25y^2 + 4y^2}{4} = 29$

$\frac{29}{4}y^2 = 29$

$y^2 = 4$

Отсюда $y_3 = 2$ и $y_4 = -2$.

Если $y_3 = 2$, то $x_3 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.

Если $y_4 = -2$, то $x_4 = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5$. Получаем решение $(-5, -2)$.

Ответ: $(-2, 5), (2, -5), (5, 2), (-5, -2)$.

477. Решите систему уравнений:

Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ y^2 + xy = 3 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 6 + 3$
$x^2 + 2xy + y^2 = 9$
Это формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = 9$.
Отсюда получаем два возможных случая: $x+y = 3$ или $x+y = -3$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + xy) - (y^2 + xy) = 6 - 3$
$x^2 - y^2 = 3$
Это формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 3$.

Рассмотрим каждый случай для $x+y$:

1) Пусть $x+y = 3$. Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:
$(x-y) \cdot 3 = 3$
$x-y = 1$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x=2$.
Подставив $x=2$ в первое уравнение $x+y=3$, получим $2+y=3$, откуда $y=1$.
Первое решение: $(2, 1)$.

2) Пусть $x+y = -3$. Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:
$(x-y) \cdot (-3) = 3$
$x-y = -1$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -1 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x=-2$.
Подставив $x=-2$ в первое уравнение $x+y=-3$, получим $-2+y=-3$, откуда $y=-1$.
Второе решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - xy = 7 \\ y^2 - xy = 9 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 - xy) - (y^2 - xy) = 7 - 9$
$x^2 - y^2 = -2$
Это формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = -2$.

Сложим первое и второе уравнения системы:
$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 7 + 9$
$x^2 - 2xy + y^2 = 16$
Это формула квадрата разности: $(x-y)^2 = 16$.
Отсюда получаем два возможных случая: $x-y = 4$ или $x-y = -4$.

Рассмотрим каждый случай для $x-y$:

1) Пусть $x-y = 4$. Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = -2$:
$4 \cdot (x+y) = -2$
$x+y = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$ \begin{cases} x-y = 4 \\ x+y = -1/2 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим $2x = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$, откуда $x = \frac{7}{4}$.
Подставив $x = \frac{7}{4}$ в уравнение $x+y = -1/2$, получим $\frac{7}{4} + y = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -\frac{1}{2} - \frac{7}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{9}{4}$.
Первое решение: $(\frac{7}{4}, -\frac{9}{4})$.

2) Пусть $x-y = -4$. Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = -2$:
$-4 \cdot (x+y) = -2$
$x+y = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$ \begin{cases} x-y = -4 \\ x+y = 1/2 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим $2x = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$, откуда $x = -\frac{7}{4}$.
Подставив $x = -\frac{7}{4}$ в уравнение $x+y = 1/2$, получим $-\frac{7}{4} + y = \frac{1}{2}$, откуда $y = \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}$.
Второе решение: $(-\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$.

Ответ: $(\frac{7}{4}, -\frac{9}{4}), (-\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$.

478. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases} $

Эта система является симметрической. Для её решения удобно использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим в эту формулу значения из уравнений системы:

$(x+y)^2 = 25 + 2 \cdot 12$

$(x+y)^2 = 25 + 24$

$(x+y)^2 = 49$

Из этого уравнения находим два возможных значения для суммы $x+y$:

$x+y = 7$ или $x+y = -7$.

Теперь задача сводится к решению двух более простых систем уравнений.

Случай 1: $x+y = 7$ и $xy = 12$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x+y = 7, \\ xy = 12. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ и $t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Следовательно, решениями в этом случае являются пары $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Случай 2: $x+y = -7$ и $xy = 12$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x+y = -7, \\ xy = 12. \end{cases} $

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-7)t + 12 = 0$, то есть $t^2 + 7t + 12 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ и $t_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Следовательно, решениями в этом случае являются пары $(-4, -3)$ и $(-3, -4)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор решений исходной системы.

Ответ: $(3, 4), (4, 3), (-4, -3), (-3, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ x+y = 6. \end{cases} $

Для решения этой системы также воспользуемся тождеством $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим в него известные значения из системы:

$6^2 = 26 + 2xy$

$36 = 26 + 2xy$

Выразим $2xy$:

$2xy = 36 - 26$

$2xy = 10$

$xy = 5$

Теперь мы можем составить новую систему, эквивалентную исходной:

$ \begin{cases} x+y = 6, \\ xy = 5. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.

Решим это уравнение. Корни легко находятся подбором: их сумма равна 6, а произведение равно 5. Это числа 1 и 5. Также можно найти их через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$ и $t_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел, где одна переменная равна 1, а другая 5.

Ответ: $(1, 5), (5, 1)$.

479. Найдите множество решений системы:

а) Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \\ x + xy + y = 5 \end{cases}$$
Это симметрическая система, так как при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ уравнения не меняются. Для решения таких систем удобно использовать замену, основанную на элементарных симметрических многочленах. Введем новые переменные: пусть $u = x + y$ и $v = xy$.
Выразим каждое уравнение системы через $u$ и $v$.
Второе уравнение: $x + y + xy = 5 \implies u + v = 5$.
Для преобразования первого уравнения воспользуемся тождеством $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Тогда первое уравнение примет вид: $(u^2 - 2v) + v = 7 \implies u^2 - v = 7$.

Теперь мы имеем систему уравнений относительно $u$ и $v$:
$$ \begin{cases} u + v = 5 \\ u^2 - v = 7 \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $v$: $v = 5 - u$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$u^2 - (5 - u) = 7$
$u^2 + u - 5 = 7$
$u^2 + u - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, его корни: $u_1 = 3$ и $u_2 = -4$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $u = 3$, то $v = 5 - u = 5 - 3 = 2$.
Теперь вернемся к исходным переменным. $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.
Следовательно, решениями исходной системы являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

2. Если $u = -4$, то $v = 5 - u = 5 - (-4) = 9$.
Соответствующее квадратное уравнение для $t$:
$t^2 - (-4)t + 9 = 0$
$t^2 + 4t + 9 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае система не имеет действительных решений.

Таким образом, множество решений системы состоит из двух пар чисел.
Ответ: $\{(1, 2), (2, 1)\}$.

б) Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x + xy + y = 1 \end{cases}$$
Эта система также является симметрической. Применим тот же метод замены переменных: $u = x + y$, $v = xy$.
Преобразуем систему:
Второе уравнение: $x + y + xy = 1 \implies u + v = 1$.
Первое уравнение: $x^2 + y^2 + xy = 19 \implies (u^2 - 2v) + v = 19 \implies u^2 - v = 19$.

Получаем новую систему для $u$ и $v$:
$$ \begin{cases} u + v = 1 \\ u^2 - v = 19 \end{cases}$$
Из первого уравнения $v = 1 - u$.
Подставляем во второе уравнение:
$u^2 - (1 - u) = 19$
$u^2 + u - 1 = 19$
$u^2 + u - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $u_1 = 4$ и $u_2 = -5$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $u = 4$, то $v = 1 - u = 1 - 4 = -3$.
Переменные $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - ut + v = 0$:
$t^2 - 4t - 3 = 0$
Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения:
$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.
Таким образом, мы получаем две пары решений: $(2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7})$ и $(2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7})$.

2. Если $u = -5$, то $v = 1 - u = 1 - (-5) = 6$.
Переменные $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - ut + v = 0$:
$t^2 - (-5)t + 6 = 0$
$t^2 + 5t + 6 = 0$
Корни этого уравнения, по теореме Виета, $t_1 = -2$, $t_2 = -3$.
Это дает еще две пары решений: $(-2, -3)$ и $(-3, -2)$.

Таким образом, множество решений системы состоит из четырех пар чисел.
Ответ: $\{(-3, -2), (-2, -3), (2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}), (2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7})\}$.

480. Решите систему уравнений:

а)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}4x(x + y) + y^2 = 49, \\4x(x - y) + y^2 = 81.\end{cases}$
Раскроем скобки в каждом уравнении:$\begin{cases}4x^2 + 4xy + y^2 = 49, \\4x^2 - 4xy + y^2 = 81.\end{cases}$
Левые части уравнений являются полными квадратами. Первое уравнение — квадрат суммы, второе — квадрат разности:$\begin{cases}(2x + y)^2 = 49, \\(2x - y)^2 = 81.\end{cases}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, мы получаем систему, которая распадается на четыре системы линейных уравнений:$\begin{cases}2x + y = \pm 7, \\2x - y = \pm 9.\end{cases}$
Рассмотрим все четыре возможных случая:

1)$\begin{cases}2x + y = 7, \\2x - y = 9.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = 7 + 9 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$.
Подставим $x=4$ в первое уравнение: $2(4) + y = 7 \Rightarrow 8 + y = 7 \Rightarrow y = -1$.
Получаем решение: $(4, -1)$.

2)$\begin{cases}2x + y = 7, \\2x - y = -9.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = 7 - 9 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -1/2$.
Подставим $x=-1/2$ в первое уравнение: $2(-1/2) + y = 7 \Rightarrow -1 + y = 7 \Rightarrow y = 8$.
Получаем решение: $(-1/2, 8)$.

3)$\begin{cases}2x + y = -7, \\2x - y = 9.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = -7 + 9 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = 1/2$.
Подставим $x=1/2$ в первое уравнение: $2(1/2) + y = -7 \Rightarrow 1 + y = -7 \Rightarrow y = -8$.
Получаем решение: $(1/2, -8)$.

4)$\begin{cases}2x + y = -7, \\2x - y = -9.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = -7 - 9 \Rightarrow 4x = -16 \Rightarrow x = -4$.
Подставим $x=-4$ в первое уравнение: $2(-4) + y = -7 \Rightarrow -8 + y = -7 \Rightarrow y = 1$.
Получаем решение: $(-4, 1)$.

Ответ: $(4, -1)$; $(-1/2, 8)$; $(1/2, -8)$; $(-4, 1)$.

б)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}3x(3x - 4y) + 4y^2 = 64, \\3x(3x + 4y) + 4y^2 = 16.\end{cases}$
Раскроем скобки в каждом уравнении:$\begin{cases}9x^2 - 12xy + 4y^2 = 64, \\9x^2 + 12xy + 4y^2 = 16.\end{cases}$
Левые части уравнений являются полными квадратами. Заметим, что $4y^2 = (2y)^2$. Первое уравнение — квадрат разности, второе — квадрат суммы:$\begin{cases}(3x - 2y)^2 = 64, \\(3x + 2y)^2 = 16.\end{cases}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, мы получаем систему, которая распадается на четыре системы линейных уравнений:$\begin{cases}3x - 2y = \pm 8, \\3x + 2y = \pm 4.\end{cases}$
Рассмотрим все четыре возможных случая:

1)$\begin{cases}3x - 2y = 8, \\3x + 2y = 4.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(3x - 2y) + (3x + 2y) = 8 + 4 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$.
Подставим $x=2$ во второе уравнение: $3(2) + 2y = 4 \Rightarrow 6 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$.
Получаем решение: $(2, -1)$.

2)$\begin{cases}3x - 2y = 8, \\3x + 2y = -4.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(3x - 2y) + (3x + 2y) = 8 - 4 \Rightarrow 6x = 4 \Rightarrow x = 2/3$.
Подставим $x=2/3$ во второе уравнение: $3(2/3) + 2y = -4 \Rightarrow 2 + 2y = -4 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3$.
Получаем решение: $(2/3, -3)$.

3)$\begin{cases}3x - 2y = -8, \\3x + 2y = 4.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(3x - 2y) + (3x + 2y) = -8 + 4 \Rightarrow 6x = -4 \Rightarrow x = -2/3$.
Подставим $x=-2/3$ во второе уравнение: $3(-2/3) + 2y = 4 \Rightarrow -2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
Получаем решение: $(-2/3, 3)$.

4)$\begin{cases}3x - 2y = -8, \\3x + 2y = -4.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(3x - 2y) + (3x + 2y) = -8 - 4 \Rightarrow 6x = -12 \Rightarrow x = -2$.
Подставим $x=-2$ во второе уравнение: $3(-2) + 2y = -4 \Rightarrow -6 + 2y = -4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
Получаем решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, -1)$; $(2/3, -3)$; $(-2/3, 3)$; $(-2, 1)$.