Страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

461. Является ли решением системы неравенств пара чисел:

а) (4; 2);

б) (–5; 1);

в) (–2; –1);

г) (6; –5)?

Чтобы определить, является ли пара чисел решением системы неравенств, необходимо подставить значения переменных из этой пары в каждое неравенство системы. Если в результате подстановки оба неравенства обращаются в верные числовые неравенства, то пара является решением системы. В противном случае — не является.

а) (4; 2)

Подставим значения $x=4$ и $y=2$ в каждое из неравенств системы.

1. Проверка первого неравенства $x^2 - 2y > 7$:

Подставляем значения: $4^2 - 2 \cdot 2 > 7$.

Выполняем вычисления: $16 - 4 > 7$, что равносильно $12 > 7$. Это верное неравенство.

2. Проверка второго неравенства $3x + y > 3$:

Подставляем значения: $3 \cdot 4 + 2 > 3$.

Выполняем вычисления: $12 + 2 > 3$, что равносильно $14 > 3$. Это также верное неравенство.

Так как оба неравенства верны, пара чисел (4; 2) является решением системы.

Ответ: да, является.

б) (-5; 1)

Подставим значения $x=-5$ и $y=1$ в каждое из неравенств системы.

1. Проверка первого неравенства $x^2 - 2y > 7$:

Подставляем значения: $(-5)^2 - 2 \cdot 1 > 7$.

Выполняем вычисления: $25 - 2 > 7$, что равносильно $23 > 7$. Это верное неравенство.

2. Проверка второго неравенства $3x + y > 3$:

Подставляем значения: $3 \cdot (-5) + 1 > 3$.

Выполняем вычисления: $-15 + 1 > 3$, что равносильно $-14 > 3$. Это неверное неравенство.

Так как второе неравенство не выполняется, пара чисел (-5; 1) не является решением системы.

Ответ: нет, не является.

в) (-2; -1)

Подставим значения $x=-2$ и $y=-1$ в каждое из неравенств системы.

1. Проверка первого неравенства $x^2 - 2y > 7$:

Подставляем значения: $(-2)^2 - 2 \cdot (-1) > 7$.

Выполняем вычисления: $4 + 2 > 7$, что равносильно $6 > 7$. Это неверное неравенство.

Так как первое неравенство не выполняется, пара чисел (-2; -1) не является решением системы. Проверять второе неравенство не обязательно.

Ответ: нет, не является.

г) (6; -5)

Подставим значения $x=6$ и $y=-5$ в каждое из неравенств системы.

1. Проверка первого неравенства $x^2 - 2y > 7$:

Подставляем значения: $6^2 - 2 \cdot (-5) > 7$.

Выполняем вычисления: $36 + 10 > 7$, что равносильно $46 > 7$. Это верное неравенство.

2. Проверка второго неравенства $3x + y > 3$:

Подставляем значения: $3 \cdot 6 + (-5) > 3$.

Выполняем вычисления: $18 - 5 > 3$, что равносильно $13 > 3$. Это также верное неравенство.

Так как оба неравенства верны, пара чисел (6; -5) является решением системы.

Ответ: да, является.

462. (Для работы в парах.) Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

1) Обсудите, к какому виду удобно привести неравенства системы в заданиях б), в) и г).

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли показано множество решений системы неравенств в каждом случае.

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \ge x - 3 \\ y \le -x + 3 \end{cases} $

1. Построим график первого неравенства $y \ge x - 3$.

- Граничная линия задается уравнением $y = x - 3$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-3$ (точка (0, -3)); если $x=3$, то $y=0$ (точка (3, 0)).

- Так как неравенство нестрогое ($\ge$), линия рисуется сплошной, то есть точки на прямой являются частью решения.

- Для определения области штриховки возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, (0, 0). Подставим ее координаты в неравенство: $0 \ge 0 - 3$, что является верным утверждением ($0 \ge -3$). Следовательно, штрихуем полуплоскость, содержащую начало координат, то есть область выше прямой $y = x - 3$.

2. Построим график второго неравенства $y \le -x + 3$.

- Граничная линия: $y = -x + 3$. Это прямая. Точки для построения: если $x=0$, то $y=3$ (точка (0, 3)); если $x=3$, то $y=0$ (точка (3, 0)).

- Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому линия также сплошная.

- Проверим точку (0, 0): $0 \le -0 + 3$, что является верным утверждением ($0 \le 3$). Штрихуем полуплоскость, содержащую начало координат, то есть область ниже прямой $y = -x + 3$.

3. Решение системы — это пересечение (общая часть) заштрихованных областей.

- Найдем точку пересечения граничных прямых, решив систему уравнений: $y = x - 3$ и $y = -x + 3$. Приравнивая правые части, получаем $x - 3 = -x + 3 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Тогда $y = 3 - 3 = 0$. Точка пересечения — (3, 0).

- Множество решений представляет собой угол с вершиной в точке (3, 0), который открывается влево.

Ответ: Множеством решений является область, ограниченная лучами $y = x - 3$ и $y = -x + 3$, исходящими из точки их пересечения (3, 0). Область включает в себя эти лучи и расположена между ними.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - 2y < 4 \\ x + y < 3 \end{cases} $

Для удобства построения приведем неравенства к виду, где $y$ выражен через $x$.

1. Первое неравенство: $x - 2y < 4 \Rightarrow -2y < -x + 4$. Разделим на -2 и сменим знак неравенства: $y > \frac{1}{2}x - 2$.

- Граничная линия: $y = \frac{1}{2}x - 2$. Это прямая. Точки для построения: (0, -2) и (4, 0).

- Неравенство строгое ($>$), поэтому линия рисуется пунктирной (точки на прямой не входят в решение).

- Штрихуем область выше этой прямой, так как $y > \dots$.

2. Второе неравенство: $x + y < 3 \Rightarrow y < -x + 3$.

- Граничная линия: $y = -x + 3$. Это прямая. Точки для построения: (0, 3) и (3, 0).

- Неравенство строгое ($<$), поэтому линия пунктирная.

- Штрихуем область ниже этой прямой, так как $y < \dots$.

3. Решение системы — это пересечение заштрихованных областей.

- Найдем точку пересечения прямых: $\frac{1}{2}x - 2 = -x + 3 \Rightarrow \frac{3}{2}x = 5 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$. Тогда $y = -\frac{10}{3} + 3 = -\frac{1}{3}$. Точка пересечения — $(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$.

Ответ: Множество решений — это открытый угол с вершиной в точке $(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$, расположенный выше пунктирной прямой $y = \frac{1}{2}x - 2$ и ниже пунктирной прямой $y = -x + 3$. Границы угла не включаются в решение.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} -2x + y < -1 \\ x - y > 3 \end{cases} $

Приведем неравенства к виду, выражающему $y$ через $x$.

1. Первое неравенство: $-2x + y < -1 \Rightarrow y < 2x - 1$.

- Граничная линия: $y = 2x - 1$. Прямая. Точки: (0, -1) и (1, 1).

- Неравенство строгое ($<$), линия пунктирная.

- Штрихуем область ниже этой прямой.

2. Второе неравенство: $x - y > 3 \Rightarrow -y > -x + 3$. Умножим на -1 и сменим знак: $y < x - 3$.

- Граничная линия: $y = x - 3$. Прямая. Точки: (0, -3) и (3, 0).

- Неравенство строгое ($<$), линия пунктирная.

- Штрихуем область ниже этой прямой.

3. Решение системы — пересечение областей.

- Найдем точку пересечения прямых: $2x - 1 = x - 3 \Rightarrow x = -2$. Тогда $y = -2 - 3 = -5$. Точка пересечения — (-2, -5).

- Решением является область, которая находится одновременно ниже прямой $y = 2x - 1$ и ниже прямой $y = x - 3$.

Ответ: Множество решений — это открытый угол с вершиной в точке (-2, -5), который открывается вниз и ограничен сверху пунктирными лучами $y = 2x - 1$ и $y = x - 3$. Границы угла не включаются в решение.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + y \ge 3 \\ x - y < 2 \end{cases} $

Приведем неравенства к удобному для построения виду.

1. Первое неравенство: $x + y \ge 3 \Rightarrow y \ge -x + 3$.

- Граничная линия: $y = -x + 3$. Прямая. Точки: (0, 3) и (3, 0).

- Неравенство нестрогое ($\ge$), линия сплошная.

- Штрихуем область выше этой прямой (включая саму прямую).

2. Второе неравенство: $x - y < 2 \Rightarrow -y < -x + 2$. Умножим на -1 и сменим знак: $y > x - 2$.

- Граничная линия: $y = x - 2$. Прямая. Точки: (0, -2) и (2, 0).

- Неравенство строгое ($>$), линия пунктирная.

- Штрихуем область выше этой прямой.

3. Решение системы — пересечение областей.

- Найдем точку пересечения прямых: $-x + 3 = x - 2 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$. Тогда $y = 2.5 - 2 = 0.5$. Точка пересечения — (2.5, 0.5).

- Решением является область, которая находится одновременно на или выше прямой $y = -x + 3$ и строго выше прямой $y = x - 2$.

Ответ: Множество решений — это угол с вершиной в точке (2.5, 0.5), открывающийся вверх. Одна его граница, луч $y = -x + 3$, является сплошной и входит в решение. Другая граница, луч $y = x - 2$, является пунктирной и не входит в решение. Сама вершина (2.5, 0.5) не входит в решение, так как она не удовлетворяет второму (строгому) неравенству.

1)

Неравенства в системах б), в) и г) изначально даны в общем виде $Ax + By < C$. Для графического решения систем таких неравенств на координатной плоскости их удобнее всего привести к виду, в котором переменная $y$ выражена через $x$, то есть к виду $y < mx + k$ или $y > mx + k$ (а также с нестрогими знаками $\le$ или $\ge$).

Этот вид называется формой с угловым коэффициентом. Он удобен потому, что:

• Уравнение $y = mx + k$ задает граничную прямую, которую легко построить, зная ее угловой коэффициент $m$ и точку пересечения с осью OY $(0, k)$.
• Знак неравенства однозначно определяет, какую из двух полуплоскостей штриховать. Если $y$ стоит слева с коэффициентом +1, то знак $>$ означает область "выше" прямой, а знак $<$ — область "ниже" прямой.

При выполнении преобразований важно помнить правило: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число его знак необходимо изменить на противоположный.

Ответ: Неравенства в заданиях б), в) и г) удобно привести к виду $y > f(x)$ или $y < f(x)$ (с возможными знаками $\ge$ или $\le$), то есть выразить $y$ через $x$.

463. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 2, \\ x \ge 1; \end{cases} $$ Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства.
Первое неравенство, $x \ge 2$, задает на координатной плоскости множество точек, абсциссы которых больше или равны 2. Это полуплоскость, расположенная справа от вертикальной прямой $x = 2$, включая саму прямую (поскольку неравенство нестрогое).
Второе неравенство, $x \ge 1$, задает полуплоскость, расположенную справа от прямой $x = 1$, включая саму прямую.
Чтобы найти решение системы, нужно найти точки, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Если $x \ge 2$, то условие $x \ge 1$ выполняется автоматически. Следовательно, решением системы является неравенство $x \ge 2$.
На координатной плоскости это множество представляет собой полуплоскость, ограниченную сплошной вертикальной прямой $x=2$ и включающую все точки справа от этой прямой.
Ответ: Множество решений — это правая полуплоскость, ограниченная сплошной линией $x=2$.

б)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x < -1, \\ y > 0; \end{cases} $$ Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства.
Первое неравенство, $x < -1$, задает на координатной плоскости все точки, абсциссы которых строго меньше -1. Это открытая полуплоскость, расположенная слева от вертикальной прямой $x = -1$. Прямая $x = -1$ изображается пунктирной линией, так как неравенство строгое и точки на самой прямой не входят в решение.
Второе неравенство, $y > 0$, задает все точки, ординаты которых строго больше 0. Это открытая полуплоскость, расположенная выше горизонтальной прямой $y = 0$ (оси абсцисс). Ось абсцисс также изображается пунктирной линией.
Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, где одновременно $x < -1$ и $y > 0$. Эта область представляет собой часть второго координатного угла (квадранта), расположенную левее прямой $x=-1$.
Ответ: Множество решений — это открытый квадрант (четверть плоскости), ограниченный слева пунктирной линией $x=-1$ и снизу пунктирной линией $y=0$ (осью Ox).

в)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ y - 3 \le 0. \end{cases} $$ Сначала преобразуем каждое неравенство к более простому виду:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$y - 3 \le 0 \implies y \le 3$
Получаем эквивалентную систему: $$ \begin{cases} x \ge -2, \\ y \le 3. \end{cases} $$ Первое неравенство, $x \ge -2$, задает на координатной плоскости полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = -2$, включая саму прямую (так как неравенство нестрогое, линия сплошная).
Второе неравенство, $y \le 3$, задает полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y = 3$, включая саму прямую (линия сплошная).
Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, где одновременно $x \ge -2$ и $y \le 3$. Это квадрант (четверть плоскости), ограниченный двумя сплошными линиями.
Ответ: Множество решений — это квадрант (четверть плоскости), ограниченный справа сплошной линией $x=-2$ и сверху сплошной линией $y=3$, включая сами границы.

464. Задайте системой неравенств:

а) первую координатную четверть (включая оси координат);

б) третью координатную четверть (включая оси координат).

а)

Первая координатная четверть — это область на координатной плоскости, в которой для любой точки с координатами $(x; y)$ выполняются условия $x > 0$ и $y > 0$. То есть и абсцисса, и ордината точки должны быть положительными.

Оси координат задаются уравнениями $x=0$ (ось ординат Oy) и $y=0$ (ось абсцисс Ox).

Условие "включая оси координат" означает, что к множеству точек первой четверти мы должны добавить точки, лежащие на неотрицательных частях осей Ox и Oy (включая начало координат). Для этих точек абсцисса или ордината (или обе) равны нулю. Следовательно, строгие неравенства $x > 0$ и $y > 0$ должны быть заменены на нестрогие: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Таким образом, область задается системой из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно.

$$ \begin{cases} x \ge 0, \\ y \ge 0. \end{cases} $$

Ответ: $ \begin{cases} x \ge 0, \\ y \ge 0. \end{cases} $

б)

Третья координатная четверть — это область на координатной плоскости, в которой для любой точки с координатами $(x; y)$ выполняются условия $x < 0$ и $y < 0$. То есть и абсцисса, и ордината точки должны быть отрицательными.

Условие "включая оси координат" аналогично предыдущему пункту означает, что к множеству точек третьей четверти мы должны добавить точки, лежащие на неположительных частях осей Ox и Oy (включая начало координат). Для этих точек абсцисса или ордината (или обе) равны нулю. Следовательно, строгие неравенства $x < 0$ и $y < 0$ должны быть заменены на нестрогие: $x \le 0$ и $y \le 0$.

Система неравенств, задающая третью координатную четверть с включенными осями, имеет вид:

$$ \begin{cases} x \le 0, \\ y \le 0. \end{cases} $$

Ответ: $ \begin{cases} x \le 0, \\ y \le 0. \end{cases} $

465. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

а)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge x^2, \\ y \le 4. \end{cases} $

Первое неравенство $y \ge x^2$ задает множество точек, расположенных на параболе $y = x^2$ и выше нее. Ветви этой параболы направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Второе неравенство $y \le 4$ задает множество точек, расположенных на прямой $y=4$ и ниже нее. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 4)$.

Множество решений системы является пересечением этих двух областей. Это фигура, ограниченная снизу параболой $y = x^2$ и сверху прямой $y = 4$. Найдем точки пересечения границ: $x^2 = 4$, откуда $x = -2$ и $x = 2$. Точки пересечения: $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная параболой $y=x^2$ и прямой $y=4$, включая сами границы.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y \ge 0. \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Неравенство нестрогое, поэтому граница круга (окружность) также входит в решение.

Второе неравенство $x - y \ge 0$ можно переписать в виде $y \le x$. Оно задает полуплоскость, расположенную на прямой $y=x$ и ниже нее. Прямая $y=x$ является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Множество решений системы — это пересечение круга и полуплоскости. Это та часть круга, которая находится ниже прямой $y=x$.

Ответ: Искомое множество точек — это полукруг, отсекаемый от круга $x^2+y^2 \le 4$ прямой $y=x$, включая границу.

в)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ (x-3)^2 + y^2 \le 9. \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{9} = 3$.

Второе неравенство $(x-3)^2 + y^2 \le 9$ задает круг с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$.

Множество решений системы — это пересечение (общая часть) двух этих кругов. Расстояние между центрами кругов равно 3, что равно их радиусам. Это означает, что центр каждого круга лежит на границе другого.

Ответ: Искомое множество точек — это область пересечения двух кругов радиусом 3 с центрами в точках $(0, 0)$ и $(3, 0)$, включая границы этой области.

г)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} (x-2)^2 + (y+1)^2 \ge 1, \\ (x-2)^2 + (y+1)^2 \le 9. \end{cases} $

Оба неравенства задают области, связанные с концентрическими окружностями с центром в точке $(2, -1)$.

Первое неравенство $(x-2)^2 + (y+1)^2 \ge 1$ задает множество точек, расположенных на окружности с центром в $(2, -1)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{1} = 1$, а также всех точек вне этой окружности.

Второе неравенство $(x-2)^2 + (y+1)^2 \le 9$ задает круг с центром в той же точке $(2, -1)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$.

Множество решений системы — это пересечение этих двух областей. То есть, это все точки, которые лежат внутри большего круга (или на его границе) и одновременно вне меньшего круга (или на его границе).

Ответ: Искомое множество точек — это кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(2, -1)$, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 3. Границы (обе окружности) включены в множество.