Номер 465, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

465. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

а)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge x^2, \\ y \le 4. \end{cases} $

Первое неравенство $y \ge x^2$ задает множество точек, расположенных на параболе $y = x^2$ и выше нее. Ветви этой параболы направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Второе неравенство $y \le 4$ задает множество точек, расположенных на прямой $y=4$ и ниже нее. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 4)$.

Множество решений системы является пересечением этих двух областей. Это фигура, ограниченная снизу параболой $y = x^2$ и сверху прямой $y = 4$. Найдем точки пересечения границ: $x^2 = 4$, откуда $x = -2$ и $x = 2$. Точки пересечения: $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная параболой $y=x^2$ и прямой $y=4$, включая сами границы.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y \ge 0. \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Неравенство нестрогое, поэтому граница круга (окружность) также входит в решение.

Второе неравенство $x - y \ge 0$ можно переписать в виде $y \le x$. Оно задает полуплоскость, расположенную на прямой $y=x$ и ниже нее. Прямая $y=x$ является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Множество решений системы — это пересечение круга и полуплоскости. Это та часть круга, которая находится ниже прямой $y=x$.

Ответ: Искомое множество точек — это полукруг, отсекаемый от круга $x^2+y^2 \le 4$ прямой $y=x$, включая границу.

в)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ (x-3)^2 + y^2 \le 9. \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{9} = 3$.

Второе неравенство $(x-3)^2 + y^2 \le 9$ задает круг с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$.

Множество решений системы — это пересечение (общая часть) двух этих кругов. Расстояние между центрами кругов равно 3, что равно их радиусам. Это означает, что центр каждого круга лежит на границе другого.

Ответ: Искомое множество точек — это область пересечения двух кругов радиусом 3 с центрами в точках $(0, 0)$ и $(3, 0)$, включая границы этой области.

г)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} (x-2)^2 + (y+1)^2 \ge 1, \\ (x-2)^2 + (y+1)^2 \le 9. \end{cases} $

Оба неравенства задают области, связанные с концентрическими окружностями с центром в точке $(2, -1)$.

Первое неравенство $(x-2)^2 + (y+1)^2 \ge 1$ задает множество точек, расположенных на окружности с центром в $(2, -1)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{1} = 1$, а также всех точек вне этой окружности.

Второе неравенство $(x-2)^2 + (y+1)^2 \le 9$ задает круг с центром в той же точке $(2, -1)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$.

Множество решений системы — это пересечение этих двух областей. То есть, это все точки, которые лежат внутри большего круга (или на его границе) и одновременно вне меньшего круга (или на его границе).

Ответ: Искомое множество точек — это кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(2, -1)$, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 3. Границы (обе окружности) включены в множество.