Номер 466, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Системы неравенств с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 466, страница 138.

Условие.

466. (Задача-исследование.) При каких значениях k и b система неравенств задаёт на координатной плоскости:

а) полосу; б) угол; в) прямую?

Может ли эта система не иметь решений?

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на координатной плоскости каждое неравенство системы.

2) Выясните, при каких значениях k и b система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.

3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на координатной плоскости каждое неравенство системы.

Данная система неравенств состоит из двух линейных неравенств:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge kx + b \end{cases} $$

Первое неравенство $y \le 3x - 1$ задаёт на координатной плоскости замкнутую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая $y = 3x - 1$. Эта прямая имеет угловой коэффициент, равный 3, и пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$. Неравенство включает в себя все точки, лежащие на этой прямой и ниже неё.

Второе неравенство $y \ge kx + b$ также задаёт замкнутую полуплоскость. Её границей является прямая $y = kx + b$, которая имеет угловой коэффициент $k$ и пересекает ось ординат в точке $(0, b)$. Неравенство включает в себя все точки, лежащие на этой прямой и выше неё.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Вид этого пересечения зависит от взаимного расположения граничных прямых $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$, которое, в свою очередь, определяется значениями параметров $k$ и $b$.

2) Выясните, при каких значениях k и b система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.

а) Полоса

Полоса на плоскости — это область, заключённая между двумя параллельными прямыми. Прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой равен 3. Следовательно, для параллельности прямых необходимо, чтобы $k = 3$.

При $k=3$ система принимает вид: $$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge 3x + b \end{cases} $$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x + b \le y \le 3x - 1$. Для существования решений (т.е. для того, чтобы полоса не была пустой), необходимо, чтобы нижняя граница была не больше верхней: $3x + b \le 3x - 1$, что равносильно $b \le -1$.

Если $b < -1$, то прямые $y = 3x - 1$ и $y = 3x + b$ различны, и решением является полоса между ними, включая сами прямые. Если $b = -1$, то прямые совпадают, и решением является сама прямая, а не полоса. Следовательно, система задаёт полосу при $k = 3$ и $b < -1$.

Ответ: $k = 3$, $b < -1$.

б) Угол

Угол на плоскости образуется пересечением двух непараллельных прямых. Прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны, то есть $k \ne 3$.

При $k \ne 3$ прямые пересекутся в одной точке. Решением системы будет пересечение двух полуплоскостей, которое представляет собой угол (бесконечную область, ограниченную двумя лучами, исходящими из точки пересечения прямых). Значение параметра $b$ может быть любым, так как при $k \ne 3$ прямые всегда будут пересекаться.

Ответ: $k \ne 3$, $b$ — любое действительное число.

в) Прямая

Решением системы будет прямая в том случае, если обе граничные прямые совпадают. Прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ совпадают, если их угловые коэффициенты и ординаты пересечения с осью Y равны. Это означает, что должны выполняться условия: $k = 3$ и $b = -1$.

При этих значениях система принимает вид: $$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge 3x - 1 \end{cases} $$

Единственное решение этой системы — это $y = 3x - 1$, что и является уравнением прямой.

Ответ: $k = 3$, $b = -1$.

3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

а) Полоса (например, при $k=3$, $b=-3$):

На рисунке изображены две параллельные прямые $y=3x-1$ (верхняя синяя) и $y=3x-3$ (нижняя красная). Область решений системы (полоса) заштрихована голубым цветом. Она находится между этими прямыми, включая сами прямые.

б) Угол (например, при $k=1$, $b=1$):

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые $y=3x-1$ (синяя) и $y=x+1$ (красная). Область решений системы (угол) заштрихована голубым цветом. Она находится ниже прямой $y=3x-1$ и выше прямой $y=x+1$. Вершина угла находится в точке их пересечения $(1, 2)$.

в) Прямая (при $k=3$, $b=-1$):

На рисунке изображена одна прямая $y=3x-1$. Множество решений системы совпадает с множеством точек этой прямой.

4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

Система не будет иметь решений, если область, лежащая ниже первой прямой, и область, лежащая выше второй прямой, не пересекаются. Это происходит, когда прямые параллельны ($k=3$), и прямая $y=kx+b$ расположена строго выше прямой $y=3x-1$.

Рассмотрим случай $k=3$. Система имеет вид $3x + b \le y \le 3x - 1$. Мы выяснили, что для существования решений необходимо условие $b \le -1$. Если же $b > -1$, то для любого $x$ будет выполняться $3x+b > 3x-1$. Это означает, что нижняя граница для $y$ всегда больше верхней, что невозможно.

Например, возьмём $k=3$ и $b=1$. Система примет вид: $$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge 3x + 1 \end{cases} $$

Переписав в виде двойного неравенства, получим $3x+1 \le y \le 3x-1$. Отсюда следует, что $3x+1 \le 3x-1$, что упрощается до $1 \le -1$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, система не имеет решений ни при каких $x$ и $y$.

Геометрически это иллюстрируется на рисунке ниже, где полуплоскость $y \le 3x - 1$ (закрашена красным) и полуплоскость $y \ge 3x + 1$ (закрашена синим) не имеют общих точек.

Ответ: Да, система может не иметь решений. Это происходит при $k=3$ и $b > -1$. Например, при $k=3$ и $b=1$.