Номер 468, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Системы неравенств с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 468, страница 138.

Условие.

468. Одна из сторон острого угла проходит через точки (0; 0) и (3; 3), а другая — через точки (0; –2) и (3; –2). Задайте этот угол системой неравенств.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы задать угол системой неравенств, нам необходимо сначала найти уравнения прямых, на которых лежат стороны этого угла.

1. Найдем уравнение первой прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(3; 3)$.
Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.
Подставим координаты точки $(0; 0)$: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = 0$.
Уравнение принимает вид $y = kx$.
Подставим координаты точки $(3; 3)$: $3 = k \cdot 3$, откуда угловой коэффициент $k = 1$.
Таким образом, уравнение первой прямой: $y = x$.

2. Найдем уравнение второй прямой, проходящей через точки $(0; -2)$ и $(3; -2)$.
Снова используем уравнение $y = kx + b$.
Подставим координаты точки $(0; -2)$: $-2 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = -2$.
Уравнение принимает вид $y = kx - 2$.
Подставим координаты точки $(3; -2)$: $-2 = k \cdot 3 - 2$, откуда $3k = 0$ и $k = 0$.
Таким образом, уравнение второй прямой: $y = -2$.

3. Найдем вершину угла, которая является точкой пересечения этих двух прямых. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases}y = x \\y = -2\end{cases}$

Из системы следует, что $x = -2$ и $y = -2$. Значит, вершина угла находится в точке $(-2; -2)$.

4. Зададим область, соответствующую углу. Угол образован лучами, выходящими из вершины $(-2; -2)$. Первый луч лежит на прямой $y=x$ и проходит через точки $(0;0)$ и $(3;3)$, то есть идет в сторону увеличения $x$. Второй луч лежит на прямой $y=-2$ и проходит через точки $(0;-2)$ и $(3;-2)$, также в сторону увеличения $x$.
Искомый угол — это область плоскости, заключенная между этими двумя лучами. Эта область находится одновременно "под" или на прямой $y=x$ и "над" или на прямой $y=-2$.
"Под" или на прямой $y=x$ описывается неравенством $y \le x$.
"Над" или на прямой $y=-2$ описывается неравенством $y \ge -2$.
Объединив эти два неравенства, получим систему, которая и задает искомый острый угол.

Ответ:$\begin{cases}y \le x \\y \ge -2\end{cases}$