Номер 471, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. 24. Системы неравенств с двумя переменными - номер 471, страница 138.

Условие.

471. Докажите, что для любого значения х верно неравенство

6x (x + 8) – (5x – 27)(x + 17) › 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что неравенство $6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0$ верно для любого значения $x$, мы преобразуем его левую часть.

1. Раскроем скобки в выражении. Сначала раскроем первое произведение:

$6x(x + 8) = 6x \cdot x + 6x \cdot 8 = 6x^2 + 48x$

2. Теперь раскроем произведение двух скобок:

$(5x - 27)(x + 17) = 5x \cdot x + 5x \cdot 17 - 27 \cdot x - 27 \cdot 17 = 5x^2 + 85x - 27x - 459 = 5x^2 + 58x - 459$

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное неравенство:

$(6x^2 + 48x) - (5x^2 + 58x - 459) > 0$

4. Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак «минус»:

$6x^2 + 48x - 5x^2 - 58x + 459 > 0$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 5x^2) + (48x - 58x) + 459 > 0$

$x^2 - 10x + 459 > 0$

6. Теперь нам нужно доказать, что полученное квадратное неравенство верно для любого $x$. Для этого выделим полный квадрат в левой части:

Чтобы из выражения $x^2 - 10x$ получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $(\frac{10}{2})^2 = 5^2 = 25$.

$x^2 - 10x + 25 - 25 + 459 > 0$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют формулу квадрата разности, и вычислим сумму оставшихся чисел:

$(x^2 - 10x + 25) + (-25 + 459) > 0$

$(x - 5)^2 + 434 > 0$

7. Проанализируем полученное неравенство. Выражение $(x - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Минимальное значение выражения $(x - 5)^2$ равно 0 (достигается при $x=5$).

Следовательно, минимальное значение всей левой части неравенства равно $0 + 434 = 434$.

Так как $434 > 0$, то и выражение $(x - 5)^2 + 434$ всегда будет больше нуля для любого значения $x$.

Таким образом, исходное неравенство $6x(x+8) - (5x-27)(x+17) > 0$ верно при любом значении $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.