Номер 467, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

467. Задайте системой неравенств:

а) треугольник, изображённый на рисунке 65, а;

б) кольцо, изображённое на рисунке 65, б.

а)

Заданный на рисунке треугольник ограничен тремя прямыми. Для того чтобы задать его системой неравенств, найдем уравнения этих прямых.

Вершины треугольника находятся в точках с координатами $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 3)$.

1. Нижняя сторона треугольника лежит на оси абсцисс ($x$). Уравнение этой прямой — $y=0$. Поскольку область (треугольник) расположена выше этой прямой, первое неравенство системы будет $y \ge 0$. Граница включена, так как линия сплошная.

2. Правая сторона треугольника проходит через точки $(2, 0)$ и $(0, 3)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Подставим координаты точек $(2, 0)$ и $(0, 3)$:

$\frac{x-2}{0-2} = \frac{y-0}{3-0}$

$\frac{x-2}{-2} = \frac{y}{3}$

$3(x-2) = -2y$

$3x - 6 = -2y$, или $3x + 2y = 6$.

Чтобы определить знак неравенства, возьмем любую точку внутри треугольника, например $(0, 1)$. Подставим ее координаты в выражение $3x + 2y$: $3(0) + 2(1) = 2$. Так как $2 \le 6$, то неравенство для этой стороны будет $3x + 2y \le 6$.

3. Левая сторона треугольника проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 3)$. Аналогично найдем уравнение этой прямой:

$\frac{x-(-2)}{0-(-2)} = \frac{y-0}{3-0}$

$\frac{x+2}{2} = \frac{y}{3}$

$3(x+2) = 2y$

$3x + 6 = 2y$, или $3x - 2y = -6$.

Снова проверим с помощью точки $(0, 1)$: $3(0) - 2(1) = -2$. Так как $-2 \ge -6$, то неравенство для этой стороны будет $3x - 2y \ge -6$.

Объединив все три неравенства, получаем искомую систему:

Ответ: $\begin{cases} y \ge 0 \\ 3x + 2y \le 6 \\ 3x - 2y \ge -6 \end{cases}$

б)

Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой кольцо. Это область, заключенная между двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат $(0, 0)$.

Уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

1. Внутренняя окружность. Из графика видно, что она проходит через точки $(5, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 5)$ и $(0, -5)$. Следовательно, ее радиус $R_1 = 5$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.

2. Внешняя окружность. Она проходит через точки $(10, 0)$, $(-10, 0)$, $(0, 10)$ и $(0, -10)$. Ее радиус $R_2 = 10$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 10^2 = 100$.

Заштрихованная область находится вне (или на границе) внутренней окружности и внутри (или на границе) внешней окружности. Это можно описать системой неравенств:

– Точки, лежащие на и вне внутренней окружности, удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \ge 25$.

– Точки, лежащие на и внутри внешней окружности, удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \le 100$.

Так как обе границы сплошные, неравенства являются нестрогими. Эту систему можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $25 \le x^2 + y^2 \le 100$