Номер 463, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. 24. Системы неравенств с двумя переменными - номер 463, страница 137.

Условие.

463. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

a)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 2, \\ x \ge 1; \end{cases} $$ Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства.
Первое неравенство, $x \ge 2$, задает на координатной плоскости множество точек, абсциссы которых больше или равны 2. Это полуплоскость, расположенная справа от вертикальной прямой $x = 2$, включая саму прямую (поскольку неравенство нестрогое).
Второе неравенство, $x \ge 1$, задает полуплоскость, расположенную справа от прямой $x = 1$, включая саму прямую.
Чтобы найти решение системы, нужно найти точки, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Если $x \ge 2$, то условие $x \ge 1$ выполняется автоматически. Следовательно, решением системы является неравенство $x \ge 2$.
На координатной плоскости это множество представляет собой полуплоскость, ограниченную сплошной вертикальной прямой $x=2$ и включающую все точки справа от этой прямой.
Ответ: Множество решений — это правая полуплоскость, ограниченная сплошной линией $x=2$.

б)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x < -1, \\ y > 0; \end{cases} $$ Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства.
Первое неравенство, $x < -1$, задает на координатной плоскости все точки, абсциссы которых строго меньше -1. Это открытая полуплоскость, расположенная слева от вертикальной прямой $x = -1$. Прямая $x = -1$ изображается пунктирной линией, так как неравенство строгое и точки на самой прямой не входят в решение.
Второе неравенство, $y > 0$, задает все точки, ординаты которых строго больше 0. Это открытая полуплоскость, расположенная выше горизонтальной прямой $y = 0$ (оси абсцисс). Ось абсцисс также изображается пунктирной линией.
Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, где одновременно $x < -1$ и $y > 0$. Эта область представляет собой часть второго координатного угла (квадранта), расположенную левее прямой $x=-1$.
Ответ: Множество решений — это открытый квадрант (четверть плоскости), ограниченный слева пунктирной линией $x=-1$ и снизу пунктирной линией $y=0$ (осью Ox).

в)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ y - 3 \le 0. \end{cases} $$ Сначала преобразуем каждое неравенство к более простому виду:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$y - 3 \le 0 \implies y \le 3$
Получаем эквивалентную систему: $$ \begin{cases} x \ge -2, \\ y \le 3. \end{cases} $$ Первое неравенство, $x \ge -2$, задает на координатной плоскости полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = -2$, включая саму прямую (так как неравенство нестрогое, линия сплошная).
Второе неравенство, $y \le 3$, задает полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y = 3$, включая саму прямую (линия сплошная).
Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, где одновременно $x \ge -2$ и $y \le 3$. Это квадрант (четверть плоскости), ограниченный двумя сплошными линиями.
Ответ: Множество решений — это квадрант (четверть плоскости), ограниченный справа сплошной линией $x=-2$ и сверху сплошной линией $y=3$, включая сами границы.