Номер 458, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 458, страница 134.

Условие.

458. Постройте график уравнения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы построить график уравнения $x^2 - y^2 = 0$, преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Получаем: $(x-y)(x+y) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - y = 0$ или $x + y = 0$.

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$y = x$ или $y = -x$.

Графиком уравнения $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

Графиком уравнения $y=-x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Таким образом, график исходного уравнения $x^2 - y^2 = 0$ представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых, заданных уравнениями $y = x$ и $y = -x$.

б) Уравнение $\frac{x^2 - y}{x} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

Второе условие системы, $x \neq 0$, означает, что из графика параболы $y=x^2$ необходимо исключить точку, абсцисса которой равна нулю. Найдем ординату этой точки, подставив $x=0$ в уравнение параболы: $y = 0^2 = 0$.

Следовательно, из графика нужно исключить точку с координатами $(0,0)$. Эту точку на графике принято обозначать "выколотой" или пустым кружком.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(0, 0)$.