Номер 452, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 452, страница 134.

Условие.

452. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y \le x^2 - 4$

Чтобы изобразить множество решений данного неравенства, сначала построим график соответствующего равенства, то есть функцию $y = x^2 - 4$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Найдем точки пересечения с осью OX, решив уравнение $x^2 - 4 = 0$, откуда $x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Неравенство $y \le x^2 - 4$ означает, что нас интересуют все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ меньше или равна значению $x^2 - 4$. Это соответствует области, расположенной ниже параболы. Так как неравенство нестрогое ($\le$), сама парабола также включается в множество решений и изображается сплошной линией.

Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на параболе, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее в неравенство: $0 \le 0^2 - 4$, что дает $0 \le -4$. Это неверно, значит, область, содержащая точку $(0, 0)$, не является решением. Следовательно, решением является область по другую сторону от параболы.

Ответ: Множество решений — это область, расположенная ниже параболы $y = x^2 - 4$, включая саму параболу.

б) $y \ge (x - 2)^2 - 1$

Рассмотрим граничную кривую, заданную уравнением $y = (x - 2)^2 - 1$.

Это уравнение параболы, полученной из стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси OX и на 1 единицу вниз по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, а ветви направлены вверх.

Неравенство $y \ge (x - 2)^2 - 1$ означает, что искомые точки должны иметь ординату $y$ большую или равную, чем значение выражения $(x - 2)^2 - 1$. Это соответствует области, находящейся выше параболы. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), граница (парабола) включается в решение и рисуется сплошной линией.

Проверим с помощью контрольной точки, например, $(2, 0)$, которая находится "внутри" чаши параболы. Подставляем в неравенство: $0 \ge (2 - 2)^2 - 1$, что дает $0 \ge -1$. Это верное утверждение, поэтому область, содержащая эту точку, является решением.

Ответ: Множество решений — это область, расположенная выше параболы $y = (x - 2)^2 - 1$, включая саму параболу.

в) $x^2 + y^2 \le 25$

Сначала рассмотрим уравнение границы: $x^2 + y^2 = 25$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ описывает все точки $(x, y)$, квадрат расстояния которых от начала координат не превышает $25$ (то есть расстояние не превышает 5). Это все точки, находящиеся внутри окружности и на самой окружности.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), граница области — окружность — включается в множество решений и изображается сплошной линией.

Ответ: Множество решений — это круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 5, включая его границу (окружность).

г) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$

Границей множества решений является кривая, заданная уравнением $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$.

Это уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$. Центр окружности находится в точке $(x_0, y_0) = (1, 2)$, а ее радиус равен $r = \sqrt{4} = 2$.

Неравенство $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$ означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(1, 2)$ не должен превышать 4. Это условие выполняется для всех точек, которые лежат внутри окружности или на ней.

Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому сама окружность является частью решения и чертится сплошной линией.

Ответ: Множество решений — это круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 2, включая его границу (окружность).