Номер 454, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 454, страница 134.

Условие.

454. Какое множество точек задаётся неравенством:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Преобразуем данное неравенство, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Исходное неравенство: $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \le 0$.
Группируем слагаемые: $(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + 13 \le 0$.
Дополняем до полных квадратов:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 13 \le 0$
$(x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + 13 \le 0$
$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 - 13 + 13 \le 0$
$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 0$
Так как квадраты любых действительных чисел неотрицательны, то $(x - 3)^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Поэтому левая часть неравенства всегда больше или равна нулю.
Неравенство $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 0$ может выполняться только в том случае, если левая часть равна нулю:
$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 0$.
Это равенство справедливо только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
$y - 2 = 0 \implies y = 2$
Следовательно, данному неравенству удовлетворяет только одна точка.
Ответ: Единственная точка с координатами $(3, 2)$.

б) Преобразуем данное неравенство, выразив $y$.
Исходное неравенство: $x^2 - 4x - y + 5 \ge 0$.
Перенесем $y$ в правую часть:
$x^2 - 4x + 5 \ge y$, что эквивалентно $y \le x^2 - 4x + 5$.
Рассмотрим правую часть. Выделим в ней полный квадрат:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$.
Таким образом, неравенство принимает вид:
$y \le (x - 2)^2 + 1$.
Границей этого множества является парабола, заданная уравнением $y = (x - 2)^2 + 1$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 1)$ и ветвями, направленными вверх.
Неравенство $y \le (x - 2)^2 + 1$ определяет все точки на координатной плоскости, которые находятся на этой параболе или ниже неё.
Ответ: Множество точек, лежащих на параболе $y = (x-2)^2 + 1$ и под ней.