Номер 459, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

459. Представьте в виде рациональной дроби:

Чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, необходимо выполнить вычитание дробей. Для этого сначала преобразуем знаменатели и приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$$ \frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{x^2+3x+2} $$

1. Разложим на множители квадратный трехчлен в знаменателе второй дроби: $x^2+3x+2$. Для этого найдем корни уравнения $x^2+3x+2=0$. Используя теорему Виета, находим, что сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2+3x+2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x+1)(x+2)$.

2. Подставим разложенный знаменатель обратно в выражение:

$$ \frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{(x+1)(x+2)} $$

3. Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(x+1)(x+2)$. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на множитель $(x+1)$:

$$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)} - \frac{1-x}{(x+1)(x+2)} $$

4. Теперь выполним вычитание дробей, объединив их числители под общим знаменателем:

$$ \frac{(x-1)(x+1) - (1-x)}{(x+1)(x+2)} $$

5. Раскроем скобки в числителе. $(x-1)(x+1)$ — это формула разности квадратов, равная $x^2 - 1$. Также учтем знак минуса перед второй скобкой: $-(1-x) = -1 + x$.

$$ \frac{x^2 - 1 - 1 + x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 + x - 2}{(x+1)(x+2)} $$

6. Разложим на множители получившийся числитель $x^2 + x - 2$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, числитель можно представить в виде: $x^2 + x - 2 = (x-1)(x - (-2)) = (x-1)(x+2)$.

7. Подставим разложенный числитель в дробь и сократим ее:

$$ \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} $$

Сокращаем общий множитель $(x+2)$ (при условии $x \neq -2$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения).

$$ \frac{x-1}{x+1} $$

Ответ: $ \frac{x-1}{x+1} $