Номер 462, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. 24. Системы неравенств с двумя переменными - номер 462, страница 137.

Условие.

462. (Для работы в парах.) Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

1) Обсудите, к какому виду удобно привести неравенства системы в заданиях б), в) и г).

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли показано множество решений системы неравенств в каждом случае.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \ge x - 3 \\ y \le -x + 3 \end{cases} $

1. Построим график первого неравенства $y \ge x - 3$.

- Граничная линия задается уравнением $y = x - 3$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-3$ (точка (0, -3)); если $x=3$, то $y=0$ (точка (3, 0)).

- Так как неравенство нестрогое ($\ge$), линия рисуется сплошной, то есть точки на прямой являются частью решения.

- Для определения области штриховки возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, (0, 0). Подставим ее координаты в неравенство: $0 \ge 0 - 3$, что является верным утверждением ($0 \ge -3$). Следовательно, штрихуем полуплоскость, содержащую начало координат, то есть область выше прямой $y = x - 3$.

2. Построим график второго неравенства $y \le -x + 3$.

- Граничная линия: $y = -x + 3$. Это прямая. Точки для построения: если $x=0$, то $y=3$ (точка (0, 3)); если $x=3$, то $y=0$ (точка (3, 0)).

- Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому линия также сплошная.

- Проверим точку (0, 0): $0 \le -0 + 3$, что является верным утверждением ($0 \le 3$). Штрихуем полуплоскость, содержащую начало координат, то есть область ниже прямой $y = -x + 3$.

3. Решение системы — это пересечение (общая часть) заштрихованных областей.

- Найдем точку пересечения граничных прямых, решив систему уравнений: $y = x - 3$ и $y = -x + 3$. Приравнивая правые части, получаем $x - 3 = -x + 3 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Тогда $y = 3 - 3 = 0$. Точка пересечения — (3, 0).

- Множество решений представляет собой угол с вершиной в точке (3, 0), который открывается влево.

Ответ: Множеством решений является область, ограниченная лучами $y = x - 3$ и $y = -x + 3$, исходящими из точки их пересечения (3, 0). Область включает в себя эти лучи и расположена между ними.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - 2y < 4 \\ x + y < 3 \end{cases} $

Для удобства построения приведем неравенства к виду, где $y$ выражен через $x$.

1. Первое неравенство: $x - 2y < 4 \Rightarrow -2y < -x + 4$. Разделим на -2 и сменим знак неравенства: $y > \frac{1}{2}x - 2$.

- Граничная линия: $y = \frac{1}{2}x - 2$. Это прямая. Точки для построения: (0, -2) и (4, 0).

- Неравенство строгое ($>$), поэтому линия рисуется пунктирной (точки на прямой не входят в решение).

- Штрихуем область выше этой прямой, так как $y > \dots$.

2. Второе неравенство: $x + y < 3 \Rightarrow y < -x + 3$.

- Граничная линия: $y = -x + 3$. Это прямая. Точки для построения: (0, 3) и (3, 0).

- Неравенство строгое ($<$), поэтому линия пунктирная.

- Штрихуем область ниже этой прямой, так как $y < \dots$.

3. Решение системы — это пересечение заштрихованных областей.

- Найдем точку пересечения прямых: $\frac{1}{2}x - 2 = -x + 3 \Rightarrow \frac{3}{2}x = 5 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$. Тогда $y = -\frac{10}{3} + 3 = -\frac{1}{3}$. Точка пересечения — $(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$.

Ответ: Множество решений — это открытый угол с вершиной в точке $(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$, расположенный выше пунктирной прямой $y = \frac{1}{2}x - 2$ и ниже пунктирной прямой $y = -x + 3$. Границы угла не включаются в решение.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} -2x + y < -1 \\ x - y > 3 \end{cases} $

Приведем неравенства к виду, выражающему $y$ через $x$.

1. Первое неравенство: $-2x + y < -1 \Rightarrow y < 2x - 1$.

- Граничная линия: $y = 2x - 1$. Прямая. Точки: (0, -1) и (1, 1).

- Неравенство строгое ($<$), линия пунктирная.

- Штрихуем область ниже этой прямой.

2. Второе неравенство: $x - y > 3 \Rightarrow -y > -x + 3$. Умножим на -1 и сменим знак: $y < x - 3$.

- Граничная линия: $y = x - 3$. Прямая. Точки: (0, -3) и (3, 0).

- Неравенство строгое ($<$), линия пунктирная.

- Штрихуем область ниже этой прямой.

3. Решение системы — пересечение областей.

- Найдем точку пересечения прямых: $2x - 1 = x - 3 \Rightarrow x = -2$. Тогда $y = -2 - 3 = -5$. Точка пересечения — (-2, -5).

- Решением является область, которая находится одновременно ниже прямой $y = 2x - 1$ и ниже прямой $y = x - 3$.

Ответ: Множество решений — это открытый угол с вершиной в точке (-2, -5), который открывается вниз и ограничен сверху пунктирными лучами $y = 2x - 1$ и $y = x - 3$. Границы угла не включаются в решение.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + y \ge 3 \\ x - y < 2 \end{cases} $

Приведем неравенства к удобному для построения виду.

1. Первое неравенство: $x + y \ge 3 \Rightarrow y \ge -x + 3$.

- Граничная линия: $y = -x + 3$. Прямая. Точки: (0, 3) и (3, 0).

- Неравенство нестрогое ($\ge$), линия сплошная.

- Штрихуем область выше этой прямой (включая саму прямую).

2. Второе неравенство: $x - y < 2 \Rightarrow -y < -x + 2$. Умножим на -1 и сменим знак: $y > x - 2$.

- Граничная линия: $y = x - 2$. Прямая. Точки: (0, -2) и (2, 0).

- Неравенство строгое ($>$), линия пунктирная.

- Штрихуем область выше этой прямой.

3. Решение системы — пересечение областей.

- Найдем точку пересечения прямых: $-x + 3 = x - 2 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$. Тогда $y = 2.5 - 2 = 0.5$. Точка пересечения — (2.5, 0.5).

- Решением является область, которая находится одновременно на или выше прямой $y = -x + 3$ и строго выше прямой $y = x - 2$.

Ответ: Множество решений — это угол с вершиной в точке (2.5, 0.5), открывающийся вверх. Одна его граница, луч $y = -x + 3$, является сплошной и входит в решение. Другая граница, луч $y = x - 2$, является пунктирной и не входит в решение. Сама вершина (2.5, 0.5) не входит в решение, так как она не удовлетворяет второму (строгому) неравенству.

1)

Неравенства в системах б), в) и г) изначально даны в общем виде $Ax + By < C$. Для графического решения систем таких неравенств на координатной плоскости их удобнее всего привести к виду, в котором переменная $y$ выражена через $x$, то есть к виду $y < mx + k$ или $y > mx + k$ (а также с нестрогими знаками $\le$ или $\ge$).

Этот вид называется формой с угловым коэффициентом. Он удобен потому, что:

• Уравнение $y = mx + k$ задает граничную прямую, которую легко построить, зная ее угловой коэффициент $m$ и точку пересечения с осью OY $(0, k)$.
• Знак неравенства однозначно определяет, какую из двух полуплоскостей штриховать. Если $y$ стоит слева с коэффициентом +1, то знак $>$ означает область "выше" прямой, а знак $<$ — область "ниже" прямой.

При выполнении преобразований важно помнить правило: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число его знак необходимо изменить на противоположный.

Ответ: Неравенства в заданиях б), в) и г) удобно привести к виду $y > f(x)$ или $y < f(x)$ (с возможными знаками $\ge$ или $\le$), то есть выразить $y$ через $x$.