Номер 3, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 3, страница 130.

Условие.

3. Объясните, как решают систему двух уравнений с двумя переменными, в которой одно уравнение второй степени и одно уравнение первой степени. В качестве примера возьмите систему

Решение 1.

Решение 8.

Системы, в которых одно уравнение первой степени, а другое — второй, обычно решаются методом подстановки. Алгоритм решения следующий:

1. Из линейного уравнения (первой степени) выражают одну переменную через другую.
2. Полученное выражение подставляют в нелинейное уравнение (второй степени).
3. В результате получается уравнение с одной переменной, которое, как правило, является квадратным.
4. Решают это квадратное уравнение, находя один или два корня (или убеждаются, что корней нет).
5. Найденные значения переменной подставляют в выражение из первого шага и находят соответствующие значения второй переменной.
6. Записывают ответ в виде пар чисел $(x; y)$.

Решение примера

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2+y^2=5, \\ x-y=1. \end{cases}$

Шаг 1: Выразим одну переменную из линейного уравнения.

Возьмем второе, линейное, уравнение системы $x-y=1$. Из него удобно выразить $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Шаг 2: Подставим полученное выражение в нелинейное уравнение.

Подставим выражение $x = y + 1$ в первое уравнение системы $x^2+y^2=5$ вместо $x$:

$(y+1)^2 + y^2 = 5$

Шаг 3: Решим полученное уравнение с одной переменной.

Это уравнение является квадратным относительно переменной $y$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + 2y + 1) + y^2 = 5$

$2y^2 + 2y + 1 - 5 = 0$

$2y^2 + 2y - 4 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$y^2 + y - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -2$. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = -2$

Шаг 4: Найдем соответствующие значения второй переменной.

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение из первого шага $x = y + 1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$.

Шаг 5: Запишем ответ.

Мы получили две пары чисел, которые являются решениями системы: $(2; 1)$ и $(-1; -2)$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-1; -2)$.