Номер 442, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 442, страница 129.

Условие.

442. К 70%-му раствору некоторого вещества добавили 30%-й раствор того же вещества. Концентрация нового раствора — 40%. Найдите отношение массы первого раствора к массе второго.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть масса первого, 70%-го раствора, равна $m_1$, а масса второго, 30%-го раствора, равна $m_2$.

Масса чистого вещества в первом растворе составляет 70% от его общей массы, что можно выразить формулой $0.7 \cdot m_1$.

Аналогично, масса чистого вещества во втором растворе составляет 30% от его общей массы, то есть $0.3 \cdot m_2$.

Когда эти два раствора смешивают, получается новый раствор. Общая масса нового раствора будет равна сумме масс исходных растворов: $m_{общ} = m_1 + m_2$.

Общая масса чистого вещества в новом растворе будет равна сумме масс чистого вещества из первого и второго растворов: $m_{вещ} = 0.7 \cdot m_1 + 0.3 \cdot m_2$.

Концентрация раствора определяется как отношение массы чистого вещества к общей массе раствора. По условию, концентрация нового раствора составляет 40%, или 0.4. Таким образом, мы можем составить уравнение: $C_{нов} = \frac{m_{вещ}}{m_{общ}} = \frac{0.7 \cdot m_1 + 0.3 \cdot m_2}{m_1 + m_2} = 0.4$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти искомое отношение $\frac{m_1}{m_2}$. Для этого сначала умножим обе части уравнения на знаменатель $(m_1 + m_2)$: $0.7 \cdot m_1 + 0.3 \cdot m_2 = 0.4 \cdot (m_1 + m_2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $0.7 \cdot m_1 + 0.3 \cdot m_2 = 0.4 \cdot m_1 + 0.4 \cdot m_2$

Перенесем все слагаемые, содержащие $m_1$, в левую часть уравнения, а слагаемые, содержащие $m_2$, — в правую часть: $0.7 \cdot m_1 - 0.4 \cdot m_1 = 0.4 \cdot m_2 - 0.3 \cdot m_2$

Выполним вычитание: $0.3 \cdot m_1 = 0.1 \cdot m_2$

Чтобы найти отношение массы первого раствора к массе второго ($\frac{m_1}{m_2}$), разделим обе части уравнения на $m_2$ (подразумевая, что $m_2 \neq 0$), а затем на 0.3: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.1}{0.3}$

Упростив дробь, получаем: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$

Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно 1 к 3.

Ответ: $\frac{1}{3}$.