Номер 438, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

438. Из населённых пунктов M и N, удалённых друг от друга на 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в пункт M на 25 мин раньше, чем другой в пункт N.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости мотоциклистов в км/ч.Расстояние между населенными пунктами M и N составляет $S = 50$ км.Время, через которое мотоциклисты встретились, $t_{встр} = 30 \text{ мин}$.Разница во времени прибытия в конечные пункты $\Delta t = 25 \text{ мин}$.

Для удобства расчетов переведем время из минут в часы:$t_{встр} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$$\Delta t = 25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. До момента встречи они вместе преодолевают все расстояние S. Составим первое уравнение на основе этого факта:$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$$50 = (v_1 + v_2) \cdot 0.5$Отсюда находим сумму скоростей:$v_1 + v_2 = \frac{50}{0.5} = 100$

Теперь рассмотрим второе условие. Пусть мотоциклист со скоростью $v_1$ едет из пункта N в M, а мотоциклист со скоростью $v_2$ — из пункта M в N. По условию, первый прибыл в пункт M на 25 минут раньше, чем второй прибыл в пункт N. Это значит, что время движения первого мотоциклиста на 25 минут меньше, чем время второго, следовательно, скорость первого больше, то есть $v_1 > v_2$.

Время движения первого мотоциклиста: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$Время движения второго мотоциклиста: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$Разница во времени составляет $\Delta t$:$t_2 - t_1 = \frac{5}{12}$$\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{12}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases}v_1 + v_2 = 100 \\\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{12}\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 100 - v_1$.Подставим это выражение во второе уравнение:$\frac{50}{100 - v_1} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{12}$Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:$\frac{10}{100 - v_1} - \frac{10}{v_1} = \frac{1}{12}$Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{10v_1 - 10(100 - v_1)}{v_1(100 - v_1)} = \frac{1}{12}$$\frac{10v_1 - 1000 + 10v_1}{100v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$$\frac{20v_1 - 1000}{100v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):$12(20v_1 - 1000) = 1(100v_1 - v_1^2)$$240v_1 - 12000 = 100v_1 - v_1^2$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$v_1^2 + 240v_1 - 100v_1 - 12000 = 0$$v_1^2 + 140v_1 - 12000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 140^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 19600 + 48000 = 67600$$\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$Найдем корни уравнения:$v_{1,1} = \frac{-140 + 260}{2} = \frac{120}{2} = 60$$v_{1,2} = \frac{-140 - 260}{2} = \frac{-400}{2} = -200$Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только корень $v_1 = 60$.

Итак, скорость первого (более быстрого) мотоциклиста равна 60 км/ч. Теперь найдем скорость второго мотоциклиста:$v_2 = 100 - v_1 = 100 - 60 = 40$Скорость второго мотоциклиста — 40 км/ч.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 60 км/ч, а другого — 40 км/ч.